1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．1　空间向量及其运算 1．1．1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列命题中为假命题的是(　　) A．向量与是平行向量 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　D 解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量．故选D． 2．[多选](2023·北京首都师范大学附属密云中学高二阶段考试)下列命题中为真命题的是(　　) A．若向量a与任一向量b平行，则a＝0 B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ D．若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c 答案　ACD 解析　对于A，因为零向量与空间中任一向量平行，故A为真命题；对于B，向量相等即模相等和方向相同，故B为假命题；对于C，根据正方体的定义，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故C为真命题；对于D，根据向量相等的定义，明显成立，故D为真命题．故选ACD． 3．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 答案　C 解析　零向量的方向是任意的，且长度为0．两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C． 知识点二　空间向量的加减运算 4．已知空间中任意四点A，B，C，D，则＋－＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　＋－＝(＋)－＝－＝．故选D． 5．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．－＝ D．＝－ 答案　B 解析　B中向量的和应该是零向量，而不是数0．故选B． 6．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．c－a－b C．a－b－c D．b－a＋c 答案　B 解析　如图所示，＝＋＝＋＋＝－b－a＋c．故选B． 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的共有(　　) ①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　D 解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．故选D． 8．[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A．－－ B．＋－ C．－－ D．－＋ 答案　AB 解析　对于A，－－＝－＝；对于B，＋－＝＋＝；对于C，－－＝－＝－＝≠；对于D，－＋＝＋＋＝＋≠．故选AB． 知识点三　空间向量的线性运算 9．如图所示，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则＋＋的化简结果为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵点G为△BCD的重心，∴||＝||，∴＝，又＝，∴＋＝＋＝，又＋＝，∴＋＋＝．故选A． 10．(2023·山东烟台高二期末)如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________． 答案　 解析　＝－＝＋＋－＝－＋(＋)＝－＋＝，所以λ＝． 11．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－－． 解　(1)＋＝． (2)因为M是BB1的中点， 所以＝． 又＝， 所以＋＋＝＋＝． (3)－－－ ＝(＋)－－ ＝(＋)－－ ＝－－＝－＝． 向量，，如图所示． 12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在体对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线． 证明　连接EF，FB(图略)． ∵＝－＝－ ＝(＋＋)－ ＝＋－， ＝－＝＋－(＋＋)＝＋－， ∴＝，∴∥． 又EF∩FB＝F， ∴E，F，B三点共线． 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．所有的单位向量都是相等向量 B．两个向量相等的充要条件是它们的模相等 C．若两个非零向量的模不相等，则它们可能是相反向量 D．空间向量的模的取值范围是[0，＋∞) 答案　D 解析　因为所有的单位向量的模都是1，但是方向不一定相同，所以A错误；因为两个向量的模相等，方向不同，这两个向量也不是相等向量，所以B错误；因为两个相反向量的模相等，所以若两个非零向量的模不相等，则这两个向量一定不是相反向量，所以C错误；因为所有的空间向量的模都不小于零，所以D正确． 2．在四边形ABCD中，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 解析　∵＋＝＋，∴＝．∴AB∥DC且AB＝DC．∴四边形ABCD为平行四边形．故选A． 3．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝(　　) A．3 B．3 C．3 D．2 答案　B 解析　连接BD，－＋＝＋＝＋2＝3．故选B． 4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1C1的中点，F是AE的一个三等分点，且AF＝EF，则＝(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 答案　D 解析　如图所示，因为AF＝EF，所以＝＝(＋)．又＝＝(＋)＝(＋)，所以＝＋＋．故选D． 5．[多选](2023·江苏丹阳高级中学高二期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 答案　BCD 解析　对于A，当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即点P在棱CC1上，故A错误；对于B，当μ＝1时，则∥，故点P在棱B1C1上，故B正确；对于C，λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，即＝λ，所以点P在线段B1C上，故C正确；对于D，当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，所以点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD． 二、填空题 6．给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若空间向量a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|． 其中正确命题的序号为________． 答案　④ 解析　对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；对于④，当向量a，b不共线时，由向量加法法则并根据三角形两边之和大于第三边知|a＋b|≤|a|＋|b|成立，当向量a，b共线时，若a与b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a与b异向，则|a＋b|<|a|＋|b|，故④正确． 7．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________________． 答案　a＋b－c 解析　(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c． 8．(2023·山东新泰第一中学高二质量检测)已知三棱柱ABC－A1B1C1及空间中一点P，且＋＝m(m>0，且m为常数)，若三棱柱ABC－A1B1C1的体积为24，则三棱锥A1－ABP的体积为________． 答案　4 解析　取AC的中点O，∵＋＝m，∴2＝m⇒PO∥AB，∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，则三棱锥A1－ABP的体积为S△ABP×h＝×S△ABC×h＝S△ABC×h＝VABC－A1B1C1＝×24＝4． 三、解答题 9．(2023·辽宁葫芦岛四校高二联考)如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，CF＝2FD，连接EF，CE，AF，BF，BD，AC．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋＋； (2)－－； (3)＋＋． 解　(1)＋＋＝＋＝，如图． (2)－－＝－＝，如图． (3)因为E是线段AB的中点，CF＝2FD，所以＝，＝， 所以＋＋＝＋＋＝＋＝，如图． 10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？ 解　设AC的中点为G，连接EG，GF， 则＝，＝， ∴＝＋＝＋＝(＋)， ∴与＋共线． 11．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)化简＋＋＋＋2． 解　(1)＝＋＋＝－b＋a－c． ＝＋＋＝＋＋＝(－b－c)＋a＋(－a＋b)＝(a－c)． (2)＋＋＋＋2＝＋＋＋2＝＋2＝＋＝0． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$