1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1．1.2　空间向量的数量积运算 知识点一　空间向量的数量积运算 1．下列式子中正确的是(　　) A．a·|a|＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．＝ D．|a·b|≤|a||b| 答案　D 解析　A显然错误；(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，而a2·b2＝|a|2·|b|2，不一定与(a·b)2相等，所以B错误；因为＝，不一定与相等，所以C错误；因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|≤1，所以D正确． 2．(2024·广东雷州市白沙中学高二阶段练习)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．0 答案　D 解析　由题意可知a⊥b，a⊥c，因此a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 3.如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，△ABC是底面圆的内接正三角形，则·＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝3＋1×1×＝. [名师点拨]　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，若三者并未给出，则根据向量运算法则对向量进行分解，利用“垂直”将数量积消化掉． 4．[多选]已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··| 答案　AB 解析　由向量的加法得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，∴|··|＝0，故D不正确．故选AB. 知识点二　用数量积求夹角或长度 5．(2023·山东临沂高二期中)四面体ABCD中，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，·＝2，则∠BAC＝(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意知，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠BAD－||||cos∠BAC＝2，所以1×2cos60°－1×2cos∠BAC＝2，解得cos∠BAC＝－，所以∠BAC＝120°. 6．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B，D两点间的距离为(　　) A． B． C． D．2 答案　A 解析　如图所示，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝，所以||＝，即B，D两点间的距离为.故选A. 7．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，则AC1＝________． 答案　 解析　由空间向量可得＝＋＋，2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2||||cos∠BAD＋2|||1|cos∠A1AD＋2||||·cos∠A1AB＝3＋2cos60°＋2cos60°＋2cos60°＝6，所以||＝，即AC1＝. 8．(2023·鄂东南高二期中联考)三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 答案　 解析　如图所示，设该三棱柱的棱长为1，依题意有＝＋，＝＋＋＝＋－，则||2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋2cos60°＝3，||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝2，又·＝(＋)·(＋－)＝·＋·－2＋·＋2－·＝＋－1＋＋1－＝1，所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 知识点三　用数量积证明垂直 9.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC. 证明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB，∴∠AOC＝∠AOB. ∵·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0， ∴OA⊥BC. [规律方法]　证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直． 10.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.证明：CF⊥平面ADF. 证明　由题意可知＝＋＋，故·＝·＋·＋·.又∥，⊥，故⊥，所以·＝0，·＝0.又⊥，所以·＝0，故·＝0，所以CF⊥DA.又CF⊥AF，AF∩DA＝A，所以CF⊥平面ADF. [规律方法]　证明直线与平面垂直要利用直线与平面垂直的判定定理，将直线与平面垂直转化为直线与直线垂直证明． 一、选择题 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O为棱B1D的中点，则(　　) A．·＝2 B．·＝ C．·＝1 D．·＝ 答案　B 解析　对于A，·＝·＝1，故A错误；对于B，·＝2＝，故B正确；对于C，AB⊥平面A1ADD1，则·＝0，故C错误；对于D，＝＋，＝(＋＋)，由垂直关系化简得·＝·＋·＝－＋＝0，故D错误． 2．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 答案　C 解析　∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋0＋0＋2×6×6cos60°＝144，∴PC＝12.故选C. 3.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 答案　B 解析　＝－，＝－，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形． 4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C．－ D．0 答案　D 解析　·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.故选D. 5．[多选]下列命题正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a，b有可能均不为0 B．若a≠0且a·b＝a·c，则b＝c C．(a·b)c＝a(b·c) D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案　AD 解析　a·b＝0⇒|a||b|cos〈a，b〉＝0⇒a＝0或b＝0或cos〈a，b〉＝0，故A正确；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，尽管有a≠0，也不能得到b＝c，因为有可能a⊥(b－c)，故B不正确；因为(a·b)c＝λc(即[(a·b)c]∥c)，而a(b·c)＝μa(即[a(b·c)]∥a)，而a与c不一定共线，所以λc与μa不一定相等，故C不正确；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－6a·b＋6a·b－4b·b＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2，故D正确．故选AD. 二、填空题 6．如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，·＝________． 答案　2 解析　连接BC1，A1B，由AD1∥BC1，且△A1BC1为正三角形，有·＝2×2×cos60°＝2. 7．(2024·山东泰安一中校考阶段练习)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使与的夹角为60°，则BD＝________． 答案　 解析　由题意，得CD＝AB＝1，∠BAC＝∠ACD＝90°，＝－＋＋，故2＝(－＋＋)2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝1＋1＋1－0－2||||cos60°＋0＝3－1＝2，故BD＝||＝. 8．已知a，b是空间相互垂直的单位向量，且|c|＝5，c·a＝c·b＝2，则|c－ma－nb|的最小值是________． 答案　3 解析　因为a，b互相垂直，所以a·b＝0，|c－ma－nb|2＝c2＋m2a2＋n2b2－2ma·c－2nb·c＋2mna·b＝25＋m2＋n2－4m－4n＝(m－2)2＋(n－2)2＋9，当且仅当m＝n＝2时，|c－ma－nb|2取得最小值9，则|c－ma－nb|的最小值为3. 三、解答题 9.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°.求异面直线BD1与AC所成角的余弦值． 解　∵＝＋－＝＋－，＝＋， ∴||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝1＋1＋1＋1－1－1＝2， ∴||＝， ||2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝1＋1＋1＝3，∴||＝， ·＝(＋－)·(＋)＝2－2＋·＋·＝1－1＋＋＝1， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. 10.如图所示，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 解　(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 不妨令正四面体的棱长为1，则有|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c， 则＝(a＋b＋c)，＝－＝－＝×(a＋b＋c)－a＝(b＋c－5a)， 同理可得＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝×(18a·b－9|a|2)＝×＝0. 所以⊥，即AO⊥BO， 同理可得，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO两两垂直． (2)因为＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝， ||＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线DM与AO所成角的大小为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$