课时作业2 空间向量的数量积运算（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

课时作业(二)　空间向量的数量积运算 [基础达标练] 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A．(μa)·a＝μa2 B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·(b＋c)＝a·b＋a·c D．(a·b)·c＝a·(b·c) 解析：选AC　由空间向量数量积的运算性质可知，A、C正确，B、D错误． 2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析：选B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－.所以θ＝120°.则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 3．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案：BC 4．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________. 解析：如图，·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2. 答案：a2 5．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：选C　因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以PC＝12. 6．如图，已知正三棱柱ABC ­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 解析：不妨设棱长为2， 则＝－， ＝＋. ∴cos〈，〉＝ ＝＝0.故填90°. 答案：90° 7．已知正四面体O ­ABC的棱长为1，如图所示，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|. 解：在正四面体O­ABC中， ||＝||＝||＝1， 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋－2· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|＋＋|＝ ＝＝. 8．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. (1)求〈，〉的余弦值； (2)求证：BD1⊥EF. 解：(1)＝＋＝＋， ＝＋＝＋ ＝－. 因为·＝0，·＝0， ·＝0， 所以·＝· ＝. 又||＝||＝， 所以cos〈，〉＝. (2)证明：因为＝＋＝－＋， ＝＋＝－(＋)， 所以·＝0.所以⊥. 即BD1⊥EF. [能力提升练] 9．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 解析：选B　由a⊥b，得a·b＝0.∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0.∴k＝6. 10．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：选B　因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0.所以||＝||. 11．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 答案：D 12．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________． 答案：[0,1] 13．如图所示，在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 解：(1)证明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. (2)结合(1)知，·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝＝＝||， ∴cos〈，〉＝＝. ∴||＝2，即侧棱长为2. [素养拓展练] 14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方)，那么边BC上是否存在点Q，使⊥？ 证明：假设存在点Q(点Q在边BC上)，使⊥， 即PQ⊥QD．连接AQ，因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥QD． 又＝＋， 所以·＝·＋·＝0. 又·＝0，所以·＝0.所以AQ⊥QD． 所以点Q在以边AD的中点为圆心，以边AD为直径的圆上，圆的半径为. 又AB＝1， 所以当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意； 当＞1，即a＞2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意； 当＜1，即a＜2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意． 综上所述，当a≥2时，存在点Q ，使⊥； 当0＜a＜2时，不存在点Q，使⊥. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$