第一章 空间向量与立体几何 体验真题 感悟高考-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

金瓶放是·至真至城 =SICE2000- 体验真题 感悟高考 ①123456 金版教程 1车子44年每月T动非写参 1.(2023北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC= 1,PC=V3. (1)求证：BC⊥平面PAB; (2)求二面角A-PC-B的大小. ①123456 金版教程 44n44nTTe年ss 解 ()证明：因为PA⊥平面ABC,BC平面ABC, 所以PA⊥BC,同理PA⊥AB, 所以PAB为直角三角形 又因为PB=VPA+AB2=V2,BC=1,PC=V3, 所以PB2+BC2=PC2,则PBC为直角三角形，故BC⊥PB, 又因为PA⊥BC,PA∩PB云P, 所以BC⊥平面PAB. 解 ①123456 金版教程 44n44nTTe年s (2)由(1)知BC⊥平面PAB,又AB平面PAB,则BC⊥AB 以A为原点，AB所在直线为x轴过A且与BC平行的直线为y轴，AP所在 直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则A0,0,0),P(0,0,1),C(1,1, 0),B(1,0,0), 所以4=0,0,1)，A元=(1,1,0)， BC=0,1,0),PC=(1,1,-1), 设平面PAC的法向量为m=(1,y1,), 则 m币=0， 即a=0, B mAC=0 x1+y1=0, 解 ①123456 金版教程 44n44nTTe年ss 合x1=1,则y1=一1，所以m=(1,一1,0)， 设平面PBC的法向量为n=(c2,y2,2), nB元=0. 2=0, 则 即 nPC=0. x2十y2一2=0， 令x2=1,则2=1，所以n=(1,0,1), 所以cmsm,》）-调=22} B 又因为二面角A一PC一B为锐二面角， 所以二面角A一PC一B的大小为 解 ①123456 金版教程 子44年1每月T油非笔参# 2.(2023全国甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ACB =90°，A1到平面BCCB1的距离为1. B (1)求证：AC=AC; (2)若直线AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCCB1所成角的正弦值， ①123456 金版教程 子4年每月T油非笔参 解()证明：如图 A1C⊥底面ABC,BC平面ABC, .'A1C⊥BC,又BC⊥AE,A1CnAC=C,AC, AC平面ACCA1, c'BC⊥平面ACCA, 又BC平面BCCB1, .平面e4CC141⊥平面BCCB1. 过A1作A1O⊥CC于点O,又平面ACC4∩平面BCCB1=CC1,A10平面 ACC1A1, 解 ①123456 金版教程 44n44nTTe年s ,A1O⊥平面BCC1B1. .A1到平面BCC1B1的距离为1，.A10=1. 在RtA1CC1中，A1C⊥A1C,CC=AA1=2,A10=1, 0为CC的中点，.C0=C0=1, 又A1O⊥CC, ,∴AC=A1C=A1C1=V2, .∴AC=AC. (2)连接A1B,AC1,AC=A1C,BC⊥AC,BC⊥AC, 'Rt ACB≌RtA1CB, BABA.△ 解 123456 金版教程 nA月T合市Ts5 过B作BD⊥AA1于点D,则D为AA1的中点，又AA1=2,.AD=AD=1, .直线AA1与BB1的距离为2，BD=2, B AB=AB=V5, 在Rt ABC中，BC=VAB2-AC2=V3. 以C为原点，CA,CB,CA所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系Cz,如图所示， 则C0,0,0),A2,0,0),B0,V3,0,B1(-V2,V3,V2),C(-V2,0, V2 CB=0,3,0),C元=(-V2,0,2),AB1=(-2N2,V3,2. 解 ①123456 金版教程 44n44n用Te年s 设平面BCC1B1的法向量为n=c,y,), 则 nCB=0, 3=0, 即 取x=1,则y=0,x=1, n:c=0. -1V2x+V2z=0, ,.平面BCCB1的一个法向量为n=(1,0,1). B A 设AB1与平面BCC1B1所成的角为O, sino=lcos (nB13 13 B nlABIl ,·AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 V13 131 解