第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 第四章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设9a＝4b＝6，则＋＝(　　) A．2 B．log65 C．log56 D． 答案：A 解析：由9a＝4b＝6，得a＝log96，b＝log46，所以＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2. 2．函数y＝ln (3－x)＋的定义域是(　　) A．[2，3) B．[2，＋∞) C．(－∞，3) D．(2，3) 答案：A 解析：函数y＝ln (3－x)＋中x满足条件解得即2≤x<3，所以函数的定义域为[2，3)．故选A. 3．若f(x)＝则f(f(log32))的值为(　　) A． B．－ C．－ D．－2 答案：A 解析：∵f(log32)＝－＝－， ∴f(f(log32))＝f＝3＝. 4．已知log23＝a，2b＝7，用a，b表示log4256为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为2b＝7，所以b＝log27，所以log4256＝＝＝＝.故选C. 5．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(　　) 答案：C 解析：由指数函数和对数函数的单调性知，函数f(x)＝ax与g(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上的单调性相同，可排除B，D；再由f(3)g(3)<0可排除A.故选C. 6．已知a＝log0.22.1，b＝0.22.1，c＝2.10.2，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b 答案：C 解析：∵a＝log0.22.1<log0.21＝0，0<b＝0.22.1<0.20＝1，c＝2.10.2>2.10＝1，∴a<b<c.故选C. 7．已知函数y＝f(x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，则f(lg 3)·f(lg 4)＝(　　) A．lg 7 B．10 C．12 D．107 答案：C 解析：因为函数y＝f(x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝f(x)与函数y＝lg x互为反函数，所以f(x)＝10x，所以f(lg 3)·f(lg 4)＝10lg 3×10lg 4＝3×4＝12.故选C. 8．已知函数f(x)＝e－|x2－x|(e为自然对数的底数)，则方程2f(x)－1＝0的实数根的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由函数f(x)＝e－|x2－x|，可知方程2f(x)－1＝0，即f(x)＝，即e－|x2－x|＝，整理可得－|x2－x|＝－ln 2，即x2－x＋ln 2＝0或x2－x－ln 2＝0.在方程x2－x＋ln 2＝0中，Δ1＝1－4ln 2<0，方程无实数解；在方程x2－x－ln 2＝0中，Δ2＝1＋4ln 2>0，方程有2个不等的实数解．综上可得，方程2f(x)－1＝0的实数根的个数为2.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递减的是(　　) A．y＝2|x| B．y＝x C．y＝－x D．y＝ln (x2＋1) 答案：AD 解析：A，D项为偶函数，在(－∞，0)上单调递减；B项为偶函数，在(－∞，0)上单调递增；C项为奇函数，在(－∞，0)上单调递减．故选AD. 10．如图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x(单位：月)的函数图象，则该厂(　　) A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5个月的月产量比第4个月少 C．第6个月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产 答案：ABD 解析：前3个月，图象缓慢上升，且函数值增加的幅度变大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确；从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，故第5个月的月产量比第4个月少，第6个月的总产量与第5个月持平，故第6个月的月产量为0，故B，D正确，C错误．故选ABD. 11．关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D．函数f(x)有且仅有两个零点 答案：ABD 解析：函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示．由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则当x1>2，x2>2时，x1＋x2>4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数f(x)＝a＋(a＞0且a≠1，b＞0)的图象过定点A，且点A在幂函数h(x)＝(3m－2)xm＋1的图象上，则b＝________． 答案： 解析：h(x)是幂函数，则3m－2＝1，∴m＝1，f(x)＝a＋中，令x－＝0，得x＝，f＝，∴定点为，∴＝，又b＞0，∴b＝. 13．若函数y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是__________． 答案：(－8，－6] 解析：令g(x)＝3x2－ax＋5，其图象的对称轴为直线x＝.依题意，有即故实数a的取值范围为(－8，－6]． 14．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则a的最小值是________，x4(x1＋x2)＋的取值范围是________． 答案：1　(－4，4] 解析：由图可知，a的最小值为1.x1＋x2＝－2，x3x4＝1，2≤x4<4，所以x4(x1＋x2)＋＝－2x4＋，又函数y＝－2x＋在[2，4)上是减函数，所以x4(x1＋x2)＋的取值范围是(－4，4]． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)计算下列各式的值： (1)－5×0.2＋(＋2)－1＋(＋)0； (2)×log23＋2ln ＋21＋log23. 解：(1)原式＝－5×＋－2＋1＝－＋－2＋1＝－. (2)原式＝(2＋log325－2)×log23＋1＋2×3＝5log32×log23＋1＋6＝12. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝3x，且f(a)＝2，g(x)＝3ax－4x. (1)求g(x)的解析式； (2)当x∈[－2，1]时，求g(x)的值域． 解：(1)由f(a)＝2，得3a＝2， ∴g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x＝－(2x)2＋2x. ∴g(x)＝－(2x)2＋2x. (2)设2x＝t，∵x∈[－2，1]，∴t∈. 令h(t)＝－t2＋t＝－＋， 由h(t)在t∈上的图象可得， 当t＝时，h(t)取得最大值； 当t＝2时，h(t)取得最小值－2. 故g(x)的值域是. 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝9log3x＋，g(x)＝m·9x－3x＋1－1，m＞0. (1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值； (2)若∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)－g(x2)＞－2成立，求实数m的取值范围． 解：(1)令log3x＝t，因为x∈(1，＋∞)，所以t∈(0，＋∞)， 则f(x)＝9log3x＋可化为y＝9t＋，t∈(0，＋∞)， 因为9t＋≥2＝6，当且仅当9t＝，即t＝，x＝3时，等号成立， 所以当x＝3时，f(x)取得最小值6. (2)由(1)知，f(x1)∈[6，＋∞)， 因为∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)－g(x2)＞－2成立， 所以∃x2∈[1，2]，使得g(x2)＜6＋2＝8成立， 即∃x∈[1，2]，使得m＜9×＋3×成立， 令＝a，因为x∈[1，2]，所以a∈， 所以∃a∈，使得m＜9a2＋3a成立， 因为当a∈时，9a2＋3a＝－≤－＝2， 当a＝，即x＝1时，9a2＋3a取得最大值2， 所以实数m的取值范围是(0，2)． 18．(本小题满分17分)某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物．患者单次服用指定规格的该药物后，其体内的药物浓度c(mg/L)随时间t(h)的变化情况(如图所示)：当0≤t<1时，c与t的函数关系式为c＝m(2t－1)(m为常数)；当t≥1时，c与t的函数关系式为c＝k·(k为常数)．服药2 h后，患者体内的药物浓度为10 mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度才有疗效，而超过最低中毒浓度，患者就会有危险． (1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长(精确到0.01)? (2)首次服药1 h后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解：(1)当t≥1时，c＝k·，函数图象过点(2，10)，所以k·＝10，解得k＝40. 所以当t＝1时，c＝40×＝20. 当0≤t<1时，c＝m(2t－1)，由题图知，其图象过点(1，20)， 所以m＝20，所以c＝20·2t－20. 由20·2t－20≥10，得2t≥， 所以t≥log2＝－1≈－1≈0.58， 则首次服药后，药物有疗效的时间约为2－0.58＝1.42(h)． (2)设再次服用同等规格的药物x h后的药物浓度为y. 当0≤x≤1时，y＝20·2x－20＋40·＝20·(2x＋2－x)－20，此函数在[0，1]内单调递增，当x＝1时，y＝30； 当x>1时，y＝40·＋40·＝60·<30. 因为30<32，所以首次服药1 h后，可以立即再次服用同种规格的这种药物． 19．(本小题满分17分)若函数f(x)满足 f(logax)＝(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性； (2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围． 解：(1)令logax＝t，则x＝at， ∴f(t)＝(at－a－t)． ∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)． ∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 当a>1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且>0，∴f(x)为增函数； 当0<a<1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且<0， ∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数． (2)∵f(x)是R上的增函数， ∴y＝f(x)－4也是R上的增函数． 由x<2，得f(x)<f(2)， 要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4. ∴·≤4，∴a2＋1≤4a， 即a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋. 又a≠1，∴a的取值范围为[2－，1)∪(1，2＋]. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$