第六章 阶段练习6 向量基本定理、向量坐标及向量线性运算的应用-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 阶段练习6　向量基本定理、向量坐标及 向量线性运算的应用 一、单项选择题 1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A．， B．， C．， D．， 答案：B 解析：由题图可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B. 2．某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则m＝(　　) A．7 B． C． D．82 答案：C 解析：由图可知A(3，3)，B(5，6)，C(m，10)，所以＝(5－3，6－3)＝(2，3)，＝(m－5，10－6)＝(m－5，4)，因为A，B，C三点恰好共线，所以∥，所以3(m－5)＝2×4，解得m＝.故选C. 3．已知λ∈R，平面向量a＝(λ，－1)，b＝(2，λ)，则|a＋b|的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：易知a＋b＝(λ＋2，λ－1)，故|a＋b|2＝(λ＋2)2＋(λ－1)2＝2λ2＋2λ＋5＝2＋，当λ＝－时，|a＋b|2最小，为，故|a＋b|的最小值为，故A正确． 4．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和铅垂线的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近(重力加速度g取9.8 m/s2)(　　) A．1.4 N B．1.5 N C．1.6 N D．1.8 N 答案：A 解析：设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，8T·cos30°＝mg，解得T＝＝≈1.41 N．所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41 N．故选A. 5．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2CD＝2CB＝2，点P在线段BC上运动，若＝x＋y，则x2＋y2的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：如图建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C，D，∴＝(2，0)，＝，＝，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝，∴＝＋＝，又＝x＋y＝x(2，0)＋y＝，∴解得∴x2＋y2＝＋λ2＝λ2－λ＋1＝＋≥，即x2＋y2的最小值为.故选B. 二、多项选择题 6．下列命题正确的是(　　) A．数轴上零向量的坐标为0 B．若a与b都是单位向量，则|a＋b|的最小值为0 C．若A(－2，1)，B(2，－1)，则AB＝0 D．若A(－2，1)，B(2，－1)，则线段AB的中点坐标为(0，0) 答案：ABD 解析：数轴上零向量的坐标为0，A正确；若a与b都是单位向量，当方向相反时，|a＋b|取最小值0，B正确；若A(－2，1)，B(2，－1)，则AB＝||＝2，C错误；若A(－2，1)，B(2，－1)，则线段AB的中点坐标为(0，0)，D正确．故选ABD. 7．在△ABC中，＝2，E为AB的中点，BD，CE交于点M，则(　　) A．＝＋ B．＝ C．四边形AEMD的面积是△ABC面积的 D．△BMC和△CMD的面积相等 答案：AB 解析：对于A，因为＝2，即D为AC的三等分点(靠近点A)，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以A正确；对于B，设＝λ，由E为AB的中点，可得＝－＝－，可得＝＋＝＋λ＝＋λ＝＋(1－λ)，因为B，M，D三点共线，可得＝μ＝＋，所以＋(1－λ)＝＋，可得＝且1－λ＝，解得λ＝，μ＝，即＝，所以B正确；对于C，设△ABC的面积为S，因为＝2，所以S△ABD＝S，又因为E为AB的中点，且＝，所以S△BME＝S△ABD＝S，所以四边形AEMD的面积为S△ABD－S△BME＝S－S＝S，所以C错误；对于D，由＝，可得S△BMC＝S△BCD，所以S△CMD＝S△BCD，所以△BMC和△CMD的面积不相等，所以D错误．故选AB. 三、填空题 8．一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速的大小为20 km/h，水速的大小为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h. 答案：0.05 解析：如图所示，v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，∴|v实际| ＝＝＝16 km/h. ∴所需时间t＝＝0.05 h．∴船到达B处所需时间为0.05 h. 9．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ(＋)，＝(1－2μ)(λ，μ∈R)，则μ＝________，λ＋μ＝________． 答案：　 解析：∵＝λ(＋)，∴点P在边BC的中线所在的直线上．∵＝(1－2μ)，∴点P在边BC所在的直线上，∴点P是边BC的中点，∴λ＝，1－2μ＝，∴μ＝，∴λ＋μ＝. 10．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________． 答案： 解析：设坐标原点为O，∵＝，∴－＝(－)，∴＝2－＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．又||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－.设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，得解得∴点E的坐标为. 四、解答题 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于点M，N.求证：点M，N三等分AC. 证明：由题意可得＋＝＝2，＝＋， 所以＋＝2＝2＋2， 由于与，与分别共线，但与不共线， 所以＝2，＝2，因此N是AC的一个三等分点； 同理可证＝2，因此M也是AC的一个三等分点． 12．如图，在△OAB中，点C，D分别在线段OA和AB上，＝，＝. (1)若O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)，求的坐标和模； (2)若AE与OD的交点为F，设＝λ，求实数λ的值． 解：(1)因为＝，从而结合图形可知CD∥OB，CD＝OB， 所以CD是△OAB的中位线，即C，D分别是AO，AB的中点， 又O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)，＝， 所以＝＋＝－＋＝－(1，3)＋(4，0)＝＋(3，0)＝，||＝＝. (2)由A，F，E三点共线可知，存在0<m<1，使得＝m＋(1－m)＝m＋(1－m)， 由(1)可知D是边AB的中点， 所以＝＋， 而＝λ， 所以m＋(1－m)＝λ＋λ， 而，显然不共线， 所以只能m＝λ＝(1－m)，解得m＝，λ＝. 13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点． (1)求； (2)设＝x＋y，求xy的取值范围． 解：(1)由向量的线性运算法则，可得＝＋，　① ＝＋＋，　② 因为M为线段BC的中点，所以＝－， 联立①②得2＝＋＋＝＋，整理得＝＋. 由AM与BD交于点N， 得＝t＝t＝＋， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，＋＝1，解得t＝. 所以＝，所以＝4. (2)由题意，可设＝m，代入＝x＋y中并整理可得＝x(－)＋y(＋)＝(x＋ym)＋(y－x). 又＝＋＝＋， 故可得x＝y－1，y＝. 因为0≤m≤，所以1≤y≤. xy＝(y－1)y＝y2－y＝－在上单调递增，则当y＝1时，(xy)min＝0，当y＝时，(xy)max＝， 所以xy的取值范围为. 14．在△ABC中，＝a，＝b，＝2，D为线段AC上任意一点，BD交AE于点O. (1)若＝2， ①用a，b表示； ②若＝λ，求λ的值； (2)若＝x＋y，求＋的最小值． 解：(1)①因为＝2，所以＝， 故在△ABE中， ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－＋ ＝＋＝a＋b. ②因为B，O，D三点共线，设＝t(0<t<1)， 所以＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t， 因为＝2，所以＝， 所以＝(1－t)＋， 又＝λ＝－－， 所以解得λ＝－. (2)因为＝2，又A，O，E三点共线， 设＝m(0<m<1)， 所以＝＋＝＋m＝＋m(－)＝＋m＝(1－m)＋， 又因为＝x＋y，所以 所以＋＝＋＝[2(1－m)＋(2m＋1)]＝≥＝， 当且仅当＝，即m＝时取等号， 所以＋的最小值为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$