4.2.1 对数运算-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 4．2.1　对数运算 知识点一　对数的概念 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．∪(1，＋∞) B． C．(0，1)∪(1，＋∞) D． 答案：B 解析：由题意知解得0<a<. 2．已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值． 解：由题意，得解得x＝1. 知识点二　指数式与对数式间的相互转化 3．[多选]下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．54＝625与log4625＝5 B．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2 C.＝16与log(－4)16＝ D．9＝3与log93＝ 答案：BD 解析：对于A，54＝625可化为log5625＝4，故A不正确；对于B，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故B正确；对于C，＝16可化为log16＝－4，故C不正确；对于D，9＝3可化为log93＝，故D正确．故选BD. 4．设5log3x＝25，则x的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 答案：D 解析：5 log3x＝52，∴log3x＝2，∴x＝9. 5．若log216a＝2，则a＝________． 答案： 解析：log216a＝2，16a＝22＝4，故a＝. 知识点三　对数恒等式 6．化简：0.7log0.78＝(　　) A．2 B．8 C． D．2 答案：B 解析：设log0.78＝a，则0.7a＝8.故选B. 7．设＝2，则x的值为________． 答案： 解析：因为＝5－log5(2x－1)＝[5log5 (2x－1)]－1＝＝2，所以4x－2＝1，x＝. 8．计算： (1)23＋log23＋35－log39； (2)alogab×logbc(a，b均为不等于1的正数，c＞0)． 解：(1)23＋log23＋35－log39＝23×2log23＋＝23×3＋＝24＋27＝51. (2)alogab×logbc＝(alogab)logbc＝blogbc＝c. 知识点四　常用对数与自然对数 9．若ln (lg x)＝0，则x＝________． 答案：10 解析：因为ln (lg x)＝0，所以lg x＝e0＝1，所以x＝10. 10．已知log5m＝log20n＝，求lg (mn)的值． 解：由log5m＝log20n＝，可得m＝5， n＝20，所以mn＝5×20＝100＝10， 所以lg (mn)＝. 一、单项选择题 1．设5log5(2x－1)＝25，则x＝(　　) A．10 B．13 C．100 D．±1001 答案：B 解析：由对数的性质，得5log5 (2x－1)＝2x－1＝25，所以x＝13.故选B. 2．下列四个命题中正确的是(　　) ①对数的真数是非负数； ②若a>0且a≠1，则loga1＝0； ③若a>0且a≠1，则logaa＝1； ④若a>0且a≠1，则aloga2＝2. A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 答案：B 解析：①对数的真数为正数，①错误；②a0＝1，∴loga1＝0，②正确；③a1＝a，∴logaa＝1，③正确；④由对数恒等式alogaN＝N，得aloga2＝2，④正确． 3．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　) A．3 B．±3 C．9 D．2 答案：A 解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，且x>0，∴x＝3. 4．若log3(log8x)＝0，则x＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：∵log3(log8x)＝0，∴log8x＝1，∴x＝8，则x＝＝. 5．若logx＝z，则x，y，z之间满足(　　) A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x 答案：B 解析：由题意得＝xz，∴y＝(xz)7＝x7z. 二、多项选择题 6．有以下四个结论，其中正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln (lg 1)＝0 答案：AB 解析：lg (lg 10)＝lg 1＝0，lg (ln e)＝lg 1＝0，故A，B正确；C中若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误．故选AB. 7．方程2(log4x)2－log4x＝6的解是(　　) A．－ B． C．2 D．16 答案：BD 解析：令log4x＝m，则2(log4x)2－log4x＝6可化为2m2－m－6＝0，解得m＝－或m＝2，即log4x＝－或log4x＝2，解得x＝或x＝16. 三、填空题 8．若log3＝1，则x＝________． 答案：－7 解析：由已知得＝3，解得x＝－7. 9．若f(10x)＝2x，则f(5)＝________． 答案：2lg 5 解析：令10x＝5，则x＝lg 5，故f(5)＝2lg 5. 10．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α，β，则2α＋β＝________． 答案： 解析：因为α＋β＝－log26，所以2α＋β＝2－log26＝(2log26)－1＝. 四、解答题 11．计算： (1)lg 0.001＋log282＋22－log23＋ln e－3； (2)31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋. 解：(1)lg 0.001＋log282＋22－log23＋ln e－3＝lg 10－3＋log226＋4×(2log23)－1－3＝－3＋6＋－3＝. (2)31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－. 12．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值； (2)已知logx27＝31＋log32，求x的值． 解：(1)18a＝9，18b＝54，182a－b＝＝＝＝. (2)∵logx27＝31×3log32＝3×2＝6， ∴x6＝27，∴x＝27＝(33)＝. 13．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(千米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)之间的函数关系是v＝2ln .当火箭的最大速度达到12千米/秒时，燃料质量是火箭质量的(　　) A．5倍 B．6倍 C．e6－1倍 D．e10－1倍 答案：C 解析：当火箭速度达到12千米/秒时，则12＝2ln ，解得＝e6－1，即得此时燃料质量和火箭质量的比为e6－1.故选C. 14．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝dc C．c＝ad D．d＝a＋c 答案：B 解析：由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c.∵5d＝10，∴5dc＝10c，∴5dc＝5a，∴dc＝a.故选B. 15．(1)已知logx＝m，logy＝m＋2，求的值； (2)已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，求a＋2b的值． 解：(1)因为logx＝m，所以＝x，x2＝. 因为logy＝m＋2，所以＝y，y＝. 所以＝＝＝＝16. (2)因为正实数a，b满足ba＝4， 且a＋log2b＝3，所以log2b＝3－a， 所以b＝23－a， 所以ba＝(23－a)a＝2－a2＋3a＝4＝22， 所以－a2＋3a＝2，即a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2. 当a＝1时，b＝4，a＋2b＝9； 当a＝2时，b＝2，a＋2b＝6. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$