4.2.2 对数运算法则-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 4．2.2　对数运算法则 知识点一　正确理解对数的运算法则 1．对a>0且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是(　　) A．logaM×logaN＝loga(M＋N) B．＝loga(M－N) C．loga＝logamMn D．logaM＝ 答案：C 解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝logaM＝logaM，logamMn＝logaM，故C正确；D中－2不能作底数，故D错误．故选C. 2．给出下列式子： ①lg (3＋2)－lg (3－2)＝0； ②lg (10＋)×lg (10－)＝0； ③log(－)(＋)＝－1(n∈N＋)； ④＝lg (a－b)． 其中正确的是________(填序号)． 答案：③ 解析：lg (3＋2)－lg (3－2)＝lg ＝lg (3＋2)2>0，故①错误；∵lg (10＋)≠0，lg (10－)≠0，∴lg (10＋)×lg (10－)≠0，故②错误；log(－)(＋)＝log(－)＝－1，故③正确；≠lg (a－b)，故④错误． 知识点二　对数式的计算、化简 3．已知lg 5＝a，则lg 20＝(　　) A．4＋a B．0.6＋a C．2－a D．2a－4 答案：C 解析：由于lg 5＝a，所以lg 2＝1－lg 5＝1－a，所以lg 20＝1＋lg 2＝2－a.故选C. 4．计算下列各式的值： (1)log2＋log212－log242； (2). 解：(1)原式＝log2＝log2＝－. (2)原式＝＝＝＝1. 知识点三　换底公式及应用 5．计算：(1)log927； (2)log89×log2732； (3)log2×log3×log5. 解：(1)log927＝＝＝＝. (2)log89×log2732＝×＝×＝×＝. (3)log2×log3×log5＝log25－3×log32－5×log53－1＝－3log25×(－5log32)×(－log53)＝－15×××＝－15. 6．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py. (1)求p； (2)求证：－＝. 解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(k>1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k， 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·， ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明：∵－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝， ∴－＝. 一、单项选择题 1．log29×log34＝(　　) A． B． C．2 D．4 答案：D 解析：log29×log34＝×＝×＝4. 2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－1 答案：A 解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 3．若log5×log36×log6x＝2，则x＝(　　) A．9 B． C．25 D． 答案：D 解析：由换底公式，得原式＝××＝－＝2，所以lg x＝－2lg 5，则x＝5－2＝. 4．＋＝(　　) A．lg 3 B．－lg 3 C． D．－ 答案：C 解析：原式＝log＋log＝log＋log＝log＝log310＝.故选C. 5．若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是(　　) A．＋＝1 B．＋＝2 C．＋＝2 D．－＝ 答案：A 解析：a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20 ≠2，故B不正确；＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50≠2，故C不正确；－＝－＝lg 2－lg 25＝lg ≠，故D不正确．故选A. 二、多项选择题 6．设x，y为非零实数，a＞0且a≠1，则下列式子正确的是(　　) A．logax2＝2loga|x| B．logax2＝2logax C．loga|xy|＝loga|x|×loga|y| D．loga＝loga|x|－loga|y| 答案：AD 解析：对于A，logax2＝loga|x|2＝2loga|x|，A正确；对于B，当x＜0时，logax2＝2loga(－x)，B错误；对于C，loga|xy|＝loga(|x||y|)＝loga|x|＋loga|y|，C错误；对于D，loga＝loga＝loga|x|－loga|y|，D正确．故选AD. 7．已知10a＝2，10b＝3，则(　　) A．lg 6＝a＋b B．log3 4＝ C．log212＝ D．lg ＝ 答案：ABC 解析：因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以lg 6＝lg 2＋lg 3＝a＋b，A正确；log34＝＝＝，B正确；log212＝＝＝，C正确；lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，D错误．故选ABC. 三、填空题 8．若logab×log3a＝4，则b的值为________． 答案：81 解析：logab×log3a＝4，即×log3a＝4，即log3b＝4，∴b＝34＝81. 9．若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则－＝________． 答案： 解析：因为x＝log2.51000，y＝log0.251000，所以＝＝＝log10002.5.同理，＝log10000.25.所以－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝＝. 10．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 答案：4 解析：由换底公式，得log9(x＋5)＝log3(x＋5)．∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)，即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5，∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.又∴x>1，故x＝4. 四、解答题 11．计算： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (2)(log62)2＋(log63)2＋3log62×； (3)log28＋lg ＋ln＋21－log23＋(lg 5)2＋lg 2×lg 50； (4). 解：(1)解法一：原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 解法二：原式＝lg 14－lg ＋lg 7－lg 18 ＝lg ＝lg 1＝0. (2)原式＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63＝(log62＋log63)2＝1. (3)原式＝3－3＋＋2÷2log23＋(lg 5)2＋lg 2×(lg 5＋1)＝＋＋(lg 5)2＋(1－lg 5)×(1＋lg 5)＝. (4)原式＝ ＝＝－. 12．数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)计算log43(log98＋log272＋log274)的值； (2)已知x，y，z为正数，若5x＋8y＝10z，求－的值． 解：(1)原式＝log43(log98＋log278) ＝＝×＝. (2)由题意知，令5x＝8y＝10z＝a，则a>0， 所以x＝log5a，y＝log8a，z＝log10a， 所以－＝－＝×－×＝－＝＝. 13．某类蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式为C＝In·t，其中n为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A． B． C． D．2 答案：B 解析：由题意，得C＝20n·20＝30n·10，所以＝，所以n＝log＝log2＝＝≈＝.故选B. 14．(1)设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4的值为________； (2)如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________． 答案：(1)1　(2) 解析：(1)由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1.又x>0，y>0，x－2y>0，∴>2，∴log4＝1. (2)方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ，∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg ，即αβ＝. 15．已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，2a＝mb. (1)求m； (2)若－＋＝2，求3a的值． 解：(1)∵3a＝4b＝6c，a，b，c均为正数， 设3a＝4b＝6c＝k，k>0， ∴a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k， ∴＝＝＝＝log34， 又2a＝mb，∴m＝＝2log34＝4log32. (2)∵a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k， ∴＝logk3，＝logk4，＝logk6， ∴－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝， 又－＋＝2，解得b＝， 由(1)知，＝log34，∴a＝log34＝log34， ∴3a＝3log34＝4＝2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$