4.2.1 对数运算-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 2．已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值． 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 答案 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 4．设5log3x＝25，则x的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 解析： 5 log3x＝52，∴log3x＝2，∴x＝9. 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 5．若log216a＝2，则a＝________． 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 解析：设log0.78＝a，则0.7a＝8.故选B. 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8．计算： (1)23＋log23＋35－log39； (2)alogab×logbc(a，b均为不等于1的正数，c＞0)． 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点四　常用对数与自然对数 9．若ln (lg x)＝0，则x＝________． 解析：因为ln (lg x)＝0，所以lg x＝e0＝1，所以x＝10. 解 析 答案 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 40分钟综合练 一、单项选择题 1．设5log5(2x－1)＝25，则x＝(　　) A．10 B．13 C．100 D．±1001 解析：由对数的性质，得5log5 (2x－1)＝2x－1＝25，所以x＝13.故选B. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．下列四个命题中正确的是(　　) ①对数的真数是非负数； ②若a>0且a≠1，则loga1＝0； ③若a>0且a≠1，则logaa＝1； ④若a>0且a≠1，则aloga2＝2. A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 解析：①对数的真数为正数，①错误；②a0＝1，∴loga1＝0，②正确；③a1＝a，∴logaa＝1，③正确；④由对数恒等式alogaN＝N，得aloga2＝2，④正确． 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 3．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　) A．3 B．±3 C．9 D．2 解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，且x>0，∴x＝3. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 二、多项选择题 6．有以下四个结论，其中正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln (lg 1)＝0 解析：lg (lg 10)＝lg 1＝0，lg (ln e)＝lg 1＝0，故A，B正确；C中若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误．故选AB. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 －7 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 9．若f(10x)＝2x，则f(5)＝________． 解析：令10x＝5，则x＝lg 5，故f(5)＝2lg 5. 答案 解析 2lg 5 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 10．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α，β，则2α＋β＝________． 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 12．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值； (2)已知logx27＝31＋log32，求x的值． 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 解析 答案 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 14．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝dc C．c＝ad D．d＝a＋c 解析：由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c.∵5d＝10，∴5dc＝10c，∴5dc＝5a，∴dc＝a.故选B. 解析 答案 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 (2)因为正实数a，b满足ba＝4， 且a＋log2b＝3，所以log2b＝3－a， 所以b＝23－a， 所以ba＝(23－a)a＝2－a2＋3a＝4＝22， 所以－a2＋3a＝2，即a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2. 当a＝1时，b＝4，a＋2b＝9； 当a＝2时，b＝2，a＋2b＝6. 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　对数的概念 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋1>0，,a>0，,a≠1，))解得0<a<eq \f(1,2). 解：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3x＝x＋3，,x＋3＞0，,x＋3≠1，,x2＋3x＞0，))解得x＝1. 知识点二　指数式与对数式间的相互转化 3．[多选]下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．54＝625与log4625＝5 B．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(－4)＝16与log(－4)16＝eq \f(1,2) D．9eq \s\up17(\f(1,2))＝3与log93＝eq \f(1,2) 解析：对于A，54＝625可化为log5625＝4，故A不正确；对于B，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故B正确；对于C，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(－4)＝16可化为logeq \s\up-12(\f(1,2))16＝－4，故C不正确；对于D，9eq \s\up17(\f(1,2))＝3可化为log93＝eq \f(1,2)，故D正确．故选BD. eq \f(1,2) 解析：log216a＝2，16a＝22＝4，故a＝eq \f(1,2). 知识点三　对数恒等式 6．化简：0.7log0.78＝(　　) A．2eq \r(2) B．8 C．eq \f(1,8) D．2 eq \f(3,4) 7．设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up15(log5(2x-1))＝2，则x的值为________． 解析：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up15(log5(2x－1))＝5－log5(2x－1)＝[5log5 (2x－1)]－1＝eq \f(1,2x－1)＝2，所以4x－2＝1，x＝eq \f(3,4). 解：(1)23＋log23＋35－log39＝23×2log23＋eq \f(35,3log39)＝23×3＋eq \f(35,9)＝24＋27＝51. (2)alogab×logbc＝(alogab)logbc＝blogbc＝c. 10．已知log5m＝log20n＝eq \f(1,3)，求lg (mn)的值． 解：由log5m＝log20n＝eq \f(1,3)，可得m＝5eq \s\up17(\f(1,3))， n＝20eq \s\up17(\f(1,3))，所以mn＝5eq \s\up17(\f(1,3))×20eq \s\up17(\f(1,3))＝100eq \s\up17(\f(1,3))＝10eq \s\up17(\f(2,3))， 所以lg (mn)＝eq \f(2,3). 4．若log3(log8x)＝0，则xeq \s\up7(-\f(1,2))＝(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),6) C．eq \f(\r(2),4) D．eq \f(\r(3),9) 解析：∵log3(log8x)＝0，∴log8x＝1，∴x＝8，则xeq \s\up7(-\f(1,2))＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(\r(2),4). 5．若logxeq \r(7,y)＝z，则x，y，z之间满足(　　) A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x 解析：由题意得eq \r(7,y)＝xz，∴y＝(xz)7＝x7z. 7．方程2(log4x)2－log4x＝6的解是(　　) A．－eq \f(3,2) B．eq \f(1,8) C．2 D．16 解析：令log4x＝m，则2(log4x)2－log4x＝6可化为2m2－m－6＝0，解得m＝－eq \f(3,2)或m＝2，即log4x＝－eq \f(3,2)或log4x＝2，解得x＝eq \f(1,8)或x＝16. 三、填空题 8．若log3eq \f(1－2x,5)＝1，则x＝________． 解析：由已知得eq \f(1－2x,5)＝3，解得x＝－7. eq \f(1,6) 解析：因为α＋β＝－log26，所以2α＋β＝2－log26＝(2log26)－1＝eq \f(1,6). 四、解答题 11．计算： (1)lg 0.001＋log282＋22－log23＋ln e－3； (2)31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(log25). 解：(1)lg 0.001＋log282＋22－log23＋ln e－3＝lg 10－3＋log226＋4×(2log23)－1－3＝－3＋6＋eq \f(4,3)－3＝eq \f(4,3). (2)31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(log25)＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－eq \f(29,5). 解：(1)18a＝9，18b＝54，182a－b＝eq \f(（18a）2,18b)＝eq \f(92,54)＝eq \f(81,54)＝eq \f(3,2). (2)∵logx27＝31×3log32＝3×2＝6， ∴x6＝27，∴x＝27eq \s\up17(\f(1,6))＝(33)eq \s\up17(\f(1,6))＝eq \r(3). 13．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(千米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)之间的函数关系是v＝2ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).当火箭的最大速度达到12千米/秒时，燃料质量是火箭质量的(　　) A．5倍 B．6倍 C．e6－1倍 D．e10－1倍 解析：当火箭速度达到12千米/秒时，则12＝2ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，解得eq \f(M,m)＝e6－1，即得此时燃料质量和火箭质量的比为e6－1.故选C. 15．(1)已知logeq \s\up-12(\f(1,2))x＝m，logeq \s\up-12(\f(1,4))y＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值； (2)已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，求a＋2b的值． 解：(1)因为logeq \s\up-12(\f(1,2))x＝m，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(m)＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(2m). 因为logeq \s\up-13(\f(1,4))y＝m＋2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up15(m＋2)＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(2m＋4). 所以eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(2m),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up15(2m＋4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(2m－(2m＋4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(-4)＝16. $$