精品解析：2023年四川省资阳市中考数学真题

2023年四川省资阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 的相反数是（　　） A B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（　　） A. 4.8，4.74 B. 4.8，4.5 C. 5.0，4.5 D. 4.8，4.8 6. 数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A B. C. 或 D. 7. 体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（ ） 体重指数的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A 消瘦 B. 正常 C. 超重 D. 肥胖 8. 下列说法不正确的是（　　） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 若由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等 C. 用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线 D. 在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等 9. 如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是 ________． 12. 在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是 __________________． 13. 如图，，交于点F，则________． 14. 计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为_______． 15. 如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将沿所在直线翻折得到，则的最大值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 19. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． （1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元? （2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子? 20. 如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结． （1）求k、b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一个一次函数表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大． 22. 如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） （1）求两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 23. 如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． （1）求证：； （2）探究与的关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 24. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线在第二象限内点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； （3）点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年四川省资阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据俯视图是从正上方看到的图形进行判断即可． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部有一个圆，即俯视图为： 故选：B． 3. 毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：489万． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 5. 某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（　　） A. 4.8，4.74 B. 4.8，4.5 C. 5.0，4.5 D. 4.8，4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，理解定义：“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．根据众数和中位数的概念求解即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为4.5，4.6，4.8，4.8，5.0，排在中间的数是4.8，故中位数是4.8； 这组数据中4.8出现的次数最多，故众数为4.8． 故选：D． 6. 数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数和数轴知识是解题关键．根据点在原点的距离为该点表示的数的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵表示的点到原点的距离为， ∴点表示的数是或． 故选：C． 7. 体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（ ） 体重指数的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A. 消瘦 B. 正常 C. 超重 D. 肥胖 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小张的， ∴小张的体重状况是超重， 故选：C． 8. 下列说法不正确的是（　　） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 若由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等 C. 用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线 D. 在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，旋转的性质，尺规作图，平行线的性质，根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、方程， ，则， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项正确，不符合题意； B、若由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，正确，本选项不符合题意； C、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，正确，本选项不符合题意； D、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，本选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键． 【详解】解：四边形平行四边形，厘米， 厘米， 点从点出发以每秒厘米的速度， 点走完所用的时间为：秒， 当点在上时，；故排除； 当时，点在点处，过点作于点，如图所示： ， ， ， 厘米， 厘米， 厘米， 平方厘米， 故选：B． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确结论是：①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：有意义， ， ． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是 __________________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的求法，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵袋子中共有12个小球，其中红球2个，绿球4个， ∴黄球有6个， ∴从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是． 故答案为：． 13. 如图，，交于点F，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是的外角， 故答案为： 14. 计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为_______． 【答案】73 【解析】 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 15. 如图，边长为6的正三角形内接于，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求不规则图形面积，涉及圆的性质、等边三角形性质、三角形外接圆性质、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及三角形面积公式等知识，连接并延长交于，连接，如图所示，由等边三角形外接圆性质得到、，平分，再由勾股定理及含直角三角形性质求出相关线段长，间接表示出图中阴影部分的面积是，求出圆面积及三角形面积代值求解即可得到答案，熟练掌握圆中不规则图形面积的求法是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示： 边长为6的正三角形内接于， 由等边三角形外接圆性质可得、，平分， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，设，则， ， ，解得，即的半径为， ， 图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将沿所在直线翻折得到，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，过点D作，交延长线于点F，取的中点E，连接，，，在中利用斜边中线性质求出，根据确定当D、O、E三点共线时最大，最大值为． 【详解】解：如图，过点D作，交延长线于点F，取的中点E，连接，，， ∵等边三角形的边长为2， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， ， ∵E是的中点， ， ∴， ∴ ∴， ∴当D、E、O三点共线时最大，最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当 时， 原式. 18. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500，补全图形见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解：A所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 19. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． （1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元? （2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子? 【答案】（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元 （2）至少购进600个粽子 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答； （2）设购进个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答． 【小问1详解】 设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则： ． 解得． 答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元； 【小问2详解】 设购进个粽子， 根据题意，得． 解得． 因为是正整数，所以最小值取600． 答：至少购进600个粽子． 20. 如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径长为3 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由切线性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结． （1）求k、b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大． 【答案】（1）的值为，的值为1 （2）3 （3）经过点的一次函数解析式为（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可； （2）利用、、三点的坐标和面积公式计算即可； （3）求出点的坐标，然后写出解析式即可． 【小问1详解】 解：把点、代入得，， 解得，， ，， 把，代入中得： ， 解得， 即的值为，的值为1； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点， ， 的面积为：； 【小问3详解】 解：当时，， ， 则设经过点的一次函数解析式为， 随的增大而增大， ， 经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）． 22. 如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） （1）求两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】（1）6千米 （2）1.06分钟 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而利用平角定义可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：，，， ∴，， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴两点之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟）， ∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟． 23. 如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． （1）求证：； （2）探究与的关系，并说明理由； （3）若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可； （2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出； （3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明∶∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，理由： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键． 24. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； （3）点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的长的最大值为4 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； （3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可． 【小问1详解】 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； 【小问2详解】 设， 作x轴，与直线交于点C， ，解得， ， 当时，的长的最大值为4； 【小问3详解】 设， ，， ， 分两种情况： ①当时， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或3（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； ②当时，过点Q作于H， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设，则，， ，解得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理得直线的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$