精品解析：福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

2024－2025学年福建省部分优质高中高二（上）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，若共面，则实数 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A 0 B. C. D. 7. 已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ） A. 直线MN与所成角的余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 上存在点Q，使得 D. 在上存在点P，使得平面 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. CE与OF所成角的余弦值为 C. 四点共面 D. 的面积为 11. 正四面体中，棱长为．点满足，则的（ ） A. 最小值为． B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，向量，，，且，，则______． 13. 如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则__________. 14. 如图，在正方体中，为棱的中点，是棱上的动点（不与端点，重合）.给出下列说法： ①当变化时，三棱锥的体积不变； ②当变化时，平面内总存在与平面平行直线； ③当为中点时，异面直线与所成角的余弦值为； ④存在点，使得直线. 其中所有正确的说法是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 16. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 17. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，四棱锥中，平面∥是的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年福建省部分优质高中高二（上）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，若共面，则实数 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案. 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 故选：A 2. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 3. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 5. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 7. 已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ） A. 直线MN与所成角的余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 在上存在点Q，使得 D. 在上存在点P，使得平面 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. CE与OF所成角的余弦值为 C. 四点共面 D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据正方体结构建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项，利用空间向量的夹角公式计算判断B项，利用空间向量共面定理判断C项，利用三角形面积公式判断D项即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 对于A项，因,则, 即，故A项正确； 对于B项，因，则, 设CE与OF所成角为，则，故B项错误； 对于C项，因,则, 易得，即为共面向量， 故四点共面，即C项正确； 对于D项，因，则，记， 则，故， 故的面积为，故D项错误. 故选：AC. 11. 正四面体中，棱长为．点满足，则的（ ） A. 最小值为． B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，向量，，，且，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由向量的垂直和平行易得和的值，可得的坐标，由模长公式可得． 【详解】解：，，， ， ， 解得：， 又， ， ， ， 故答案为：3． 13. 如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法来计算向量的模长即可. 【详解】 因为分别是棱的中点，所以， 则 因为平面，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，所以. 因为， 所以. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，为棱的中点，是棱上的动点（不与端点，重合）.给出下列说法： ①当变化时，三棱锥的体积不变； ②当变化时，平面内总存在与平面平行的直线； ③当为中点时，异面直线与所成角的余弦值为； ④存在点，使得直线. 其中所有正确的说法是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】①将三棱锥改变顶点，即可计算出体积.②通过线面平行的性质得出结论.③通过建立空间直角坐标系，求得异面直线与所成角的余弦值.④假设直线，则直线与面上的所有直线都垂直，则直线垂直于直线和直线，设出N点坐标，根据向量关系得出不存在，假设不成立，故不存在. 【详解】解：由题意 对于① ∵， ∴N到面的距离相等，设为d， ， ∴三棱锥的体积为定值，①正确. 对于②， ∵面与面有公共点M， ∴面与面有一条经过M点的交线， ∴在面中，作该交线的平行线， 则该直线平行于面，②正确. 对于③，设正方体棱长为2， 建立空间直角坐标系如下图所示， ，，，， ，，，， ，， ∴，， ∴， ∴当为中点时，异面直线与所成角的余弦值为，③错误. 对于④， 设，则，， 若直线⊥面， ， 无解， ∴存在点，使得直线，④错误. 故答案为：①②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系； （2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ， 所以 . 所以. 16. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【小问1详解】 依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. 小问2详解】 由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 17. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用数量积的坐标表示求出，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，，，，，，， 则，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，四棱锥中，平面∥是的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得平面，则，再利用等腰三角形三线合一的性质可得，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）设，则可表示出点的坐标，再由可求出的值，从而可求得结果. 【小问1详解】 证明：因平面，所以平面， 又因为平面，所以. 在中，是的中点，所以. 又因为平面， 所以平面； 【小问2详解】 解：因为平面平面， 所以，又因为， 即两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以 设平面的法向量为. 则，即令，则， 于是. 因为平面平面，所以. 又平面， 所以平面.又因为， 所以取平面的法向量为. 所以， 即，解得. 又因为，所以. 【小问3详解】 结论：存在且. 理由如下：设， 因为，所以， 当时，.所以， 由知，， 所以， 所以，所以， 所以，在线段上存在点，使得，且. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$