精品解析：河南省平顶山市汝州市有道实验学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 汝州有道实验学校九月份学习成果展示试卷 九年级数学 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程配方成的形式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法；把常数项移到等号的右边，方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， ∴，， 故选：B． 2. 如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：C． 3. 已知，则的值是(　　) A. － B. － C. － D. － 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由，得 , 故选 D． 考点：比例的性质． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5， ∴AE=CE=5， ∵AD=2， ∴DE=3， ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD=， 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=5． 5. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， 又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴， ∵AB=BC=3，BP=1， ∴PC=2， ∴， ∴CD=， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 7. 一个不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球个数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为(　　) A. 60个 B. 50个 C. 40个 D. 30个 【答案】C 【解析】 【分析】小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：4；即可计算出红球数． 【详解】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球， ∴白球与红球的数量之比为1：4， ∵白球有10个, ∴红球有10×4=40（个）， 故选C． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键点是由频率得出两种球的比． 8. 若是方程的两根，则的值是多少？（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，算术平方根； 根据根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式求出，进而可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ADEF为正方形， ∴∠FAD=90°，AD=AF=EF， ∴∠CAD+∠FAG=90°， ∵FG⊥CA， ∴∠GAF+∠AFG=90°， ∴∠CAD=∠AFG， 在△FGA和△ACD中， ， ∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC=FG，①正确； ∵BC=AC， ∴FG=BC， ∵∠ACB=90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC， ∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确； ∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD=FE：FQ， ∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 10. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （1，） C. （，） D. （，） 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C关于直线OB对称， ∴PC+PD=PA+PD=DA， ∴此时PC+PD最短． 在RT△AOG中，AG===， ∴AC=． ∵OA•BK=•AC•OB， ∴BK=4，AK==3， ∴点B坐标（8，4）， ∴直线OB解析式为，直线AD解析式为， 由，解得：， ∴点P坐标（，）． 故选D． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____． 【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196 【解析】 【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，三个月之和即为总产量. 【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为： 50+50（1+x）+50（1+x）2=196． 【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和. 13. 某电脑的密码是两位数字，如果陌生人想打开该电脑，那么他一次就能打开电脑的概率是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用； 首先判断出共有种组合，再根据概率公式得出答案． 【详解】解：∵这两个数字每个数都有0~9，10种情况， ∴这个两位数字共有种组合， ∴他一次就能打开电脑的概率是， 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 【答案】1或4或2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 15. 如图，已知正方形边长是4，点E是边上靠近点B的四等分点，连接，将线段绕点E旋转，交外角的平分线于点F，若，则____ 【答案】## 【解析】 【分析】设的外角为，过点F作于H，于N，由“”可证，可得，求出，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设的外角为，过点F作于H，于N， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边上靠近点B的四等分点，正方形边长是4， ∴， ∴， ∵将线段绕点E旋转， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 三．解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可． 【详解】试题分析：根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可． 解：∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似， ∴ 解得，x=1m， 答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应边的比相等是解题的关键． 17. 某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出______件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【答案】(1)450;(2)定价为4元 【解析】 【分析】(1)、根据上涨的数量与减少的数量之间的关系得出答案； (2)、根据总利润=单件利润×数量得出方程，从而得出答案，然后根据售价不能超过批发价的2.5倍进行舍根． 【详解】（1） ∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件， ∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500−10×3.5−30.1=450(件)； 故答案为450； （2）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得：（x－2)（500－×10）=800 . 整理得：x2－10x+24=0， 解之得：x1=4,x2=6， ∵物价局规定，售价不能超过批发价的2.5倍.即2.5×2=5＜6， ∴x2=6不合题意，舍去， 得x=4． 答：应定价4元/个，才可获得800元的利润. 点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键． 18. 如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内． （1）如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______． （2）如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作轴于点，则，，求出和，即可得出点A的坐标； （2）连接，过点作轴于，根据旋转角为，可得，求出，再利用勾股定理求出，然后在中，利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和，进而可得点B的坐标． 【小问1详解】 解：如图2，作轴于，则，， ，， A点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 如图3，连接，过点作轴于，则，， ， 在中，， 在中，，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转变换，正方形的性质，坐标与图形性质，含直角三角形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是作辅助线构造含的直角三角形． 19. 为响应垃圾分类处理，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分别记为a、b、c、并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“不可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱，分别记为A，B，C，D． 如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是________． 小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，任意投放在其中两个垃圾箱中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率． 【答案】（1）；（2）两袋垃圾都投放正确的概率为． 【解析】 【分析】（1）一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，四个垃圾箱中有一个是正确的，概率是． （2）画树状图或列表列举所有可能，找到符合条件的即可． 【详解】共有四个垃圾箱，其中“有害垃圾”箱一个， 所以将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，投放正确的概率是． 故答案为． 画树状图： 则共有12种等可能的结果，其中投放正确的结果只有， 所以两袋垃圾都投放正确的概率为． 【点睛】本题考查画树状图或列表列举法求概率，熟记概率=所求情况数与总数之比是解题的关键． 20. 如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F. （1）若AB=2,AD=3,求EF的长； （2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG. 【答案】（1）EF＝；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，从而∠F＝45°，可证△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长； （2）连结CG，易证∠BEG＝∠DCG＝135°，根据“SAS”可证△BEG≌△DCG，从而可得DG＝BG. 【详解】解：（1）在矩形ABCD中 ∵AE平分∠BAD, ∴∠DAF＝45°, ∴∠F＝45°， ∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形， ∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1. 在Rt△CEF中, ∴EF＝. （2）连结CG, ∵G是EF中点, ∴CG⊥EF, ∠ECG＝∠CEF＝45°. ∴∠BEG＝∠DCG＝135°. ∴EG＝EF＝CG. ∵AB＝BE＝CD, ∴BE＝CD. ∴△BEG≌△DCG, ∴DG＝BG. 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，证明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的关键，证明△BEG≌△DCG是解（2）的关键. 21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且， （1）求∠ACB的大小; （2）求证BC2=BD·AB 【答案】（1）∠ACB＝90°；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定定理可得，再根据相似三角形的性质得，又因，则，即； （2）由题（1）的结论，易证，则，即得证. 【详解】（1）CD是边AB上的高 又 （两边对应成比例且其夹角相等的三角形相似） 又 即 （2）由题（1）可知，在和中， （两角对应相等的三角形相似） 即. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，掌握判定定理和性质是解题关键. 22. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据，即可得到，结合相似三角形的判定即可得到证明； （2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 23. 如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， （1）求证：． （2）若，，求的值． （3）在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得结论； （2）利用相似三角形的性质可得是直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进一步推出，得出，再根据相似三角形的性质即可求得答案； （3）根据已知求出，再利用勾股定理求出和，然后根据，利用相似三角形的性质进一步计算即可． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 汝州有道实验学校九月份学习成果展示试卷 九年级数学 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程配方成的形式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，则的值是(　　) A. － B. － C. － D. － 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 5. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 7. 一个不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球个数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为(　　) A. 60个 B. 50个 C. 40个 D. 30个 8. 若是方程的两根，则的值是多少？（ ） A. 4 B. C. D. 9. 如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （1，） C. （，） D. （，） 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 12. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____． 13. 某电脑的密码是两位数字，如果陌生人想打开该电脑，那么他一次就能打开电脑的概率是___． 14. 如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 15. 如图，已知正方形边长是4，点E是边上靠近点B的四等分点，连接，将线段绕点E旋转，交外角的平分线于点F，若，则____ 三．解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 17. 某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出______件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 18. 如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内． （1）如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______． （2）如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标． 19. 为响应垃圾分类处理，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分别记为a、b、c、并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“不可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱，分别记为A，B，C，D． 如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是________． 小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，任意投放在其中两个垃圾箱中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率． 20. 如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F. （1）若AB=2,AD=3,求EF的长； （2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG. 21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且， （1）求∠ACB的大小; （2）求证BC2=BD·AB 22. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 23. 如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， （1）求证：． （2）若，，求的值． （3）在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $