分门别类 搞定导数：导数专题之函数图像关系问题

此类问题充分体现了等价转化的思想的应用，比如直线 与函数 的图像的交点个数问题可以转化为求函数 的值域问题；函数 与 图像的关系问题先转化为不等式关系问题，再转化为求函数的值域问题。 （1）已知图像交点个数，求参数的取值范围， 例1. 已知 是函数 的一个极值点． (1)求函数 的单调区间； (2)若直线 与函数 的图像有三个交点，求 的取值范围． 解：(1) f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)， . 当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时， ；当x∈(1,3)时， . ∴ 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)； 的单调减区间是(1,3)。 例2.已知函数 （1）当 时，求函数 的最值；[来源:Z+xx+k.Com] （2）说明是否存在实数 使 的图象与 无公共点. （2） 时，由（1）知 在（1，+ ）的最小值为 ， 令 在［1，+ ）上单调递减， 所以 ，则 因此存在实数 使 的最小值大于 ， 故存在实数 使y= 的图象与y= 无公共点. (2)已知图像的位置关系求参数的取值范围[来源:学科网ZXXK] 例3.已知二次函数 ，其导函数 图象如图所示， ．若函数 , 的图象总在函数 的图象的上方，求c的取值范围． 解：由题意可知，2x－ln x>x2－3x－c＋ln x在x∈[1,4]上恒成立， 即当x∈[1,4]时，c>x2－5x＋2ln x恒成立, 设g(x)＝x2－5x＋2ln x，x∈[1,4]，则有c>g(x)max恒成立 易知 EMBED Equation.KSEE3 ， 令 得， 或x＝2. 当x∈(1,2)时， ， 单调递减；x∈(2,4)时， ， 单调递增．[来源:学§科§网Z§X§X§K] 而g(1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g(4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2， 显然g(1)<g(4)，故函数g(x)在[1,4]上的最大值为g(4)＝－4＋4ln 2， 故c>－4＋4ln 2. ∴c的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)． 1．已知.，求证：在区间上，函数的图象在的图象的下方. 证明：令 ，则 ∵当时，∴函数在区间上为减函数 ∴，即在上， ∴在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。 2.已知函数 （1）求的极值； （2）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公