精品解析：江苏省南通市海门区海南中学2024-2025学年 上学期八年级开学考试卷数学卷

江苏省南通市海门区海南中学2024学年度八年级开学考试卷数学卷 （全卷满分150分 考试时间150分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案写在相应的位置上） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15 3. 在实数（不循环）、、、、、、、、中，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. |a|＜|b| B. a＞b C. a＜﹣b D. |a|＞|b| 5. 如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（　　） A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3 6. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C D. 8. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A. 15°或75° B. 30° C. 150° D. 150°或30° 9. 下列推理中，错误的是（ ） A. ∵，，∴ B. ∵，，∴ C. ∵，，∴ D. ∵，，∴ 10. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题本大题共8小题．每小题3分，共24分，把答案相对应的位置上． 11. 将数据用科学记数法表示为______． 12. 命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是_______． 13. 如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，的周长为12cm，则的周长为__________cm． 14. 二元一次方程组的解是______． 15. 设，则从小到大的顺序是______． 16. 如果二次三项式可以分解为，那么的值为____． 17. 如图，已知为等腰直角三角形，，点D在上，，E为边上的动点，则周长的最小值是______． 18. 若关于x的不等式恰有三个整数解，则，实数a的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共96分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔） 19. 计算题： （1）计算：． （2）解方程组：． （3）分解因式：； （4）通分：． 20 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°． (1) 写出图中任意一对互余的角； (2) 求∠EOF的度数． 21. 计算：在平面直角坐标系中位置如图所示． （1）作关于y轴成轴对称的，并写出的坐标； （2）在y轴上有一点P，使的值最小，请在坐标系中标出点P的位置． 22. 某工厂大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 23. 已知x是的整数部分，y是的小数部分，求x(－y)的值． 24. 某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买，已知今年5月份青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元． （1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？ （2）6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低，预计这种青椒在市区、园区的销量将在今年5月份的基础上分别增长30%，20%．要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则的最大值是多少？ 25. 如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，证明下列结论： （1）； （2）． 26. 如图（1），在平面直角坐标系中，，，过C作轴，且满足． （1）求三角形的面积． （2）若过B作交y轴于D，且分别平分，如图2，求的度数． （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 27. 如图1，一副三角尺的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转． （1）将绕着点旋转图位置，若，则______． （2）若，在旋转的过程中的度数会发生变化吗？若不变化，请求出这个度数． （3）若，问题（2）中的结论还成立吗？请说明理由． （4）将绕点逆时针旋转度，当为多少时，两个三角形至少有一组边所在直线互相垂直（请直接写出所有答案）？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南通市海门区海南中学2024学年度八年级开学考试卷数学卷 （全卷满分150分 考试时间150分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案写在相应的位置上） 1. 的平方根是（ ） A 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键． 由题意可知，然后根据平方根可进行求解． 【详解】的平方根是． 故选：D． 2. 下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意； B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意； C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意； D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 在实数（不循环）、、、、、、、、中，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，熟悉掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 根据无理数的特征逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得：无理数有：（不循环），，，，一共个； 故选：C． 4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. |a|＜|b| B. a＞b C. a＜﹣b D. |a|＞|b| 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A，|a|＜|b|，故A正确； 对于选项B，应有a＜b，故B错误； 对于选项C，应有a＞﹣b，故C错误； 对于选项D，应有|a|＜|b|，故D错误； 故选A． 考点：实数与数轴． 5. 如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（　　） A. B. ﹣ C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】解方程组，求出x，y，z的值，将x，y，z的值代入kx+2y﹣3z=8中，即可求出k的值． 【详解】 ①﹣②，得 x﹣z＝2④ ③+④，得 2x＝6， 解得，x＝3 将x＝3代入①，得 y＝5， 将x＝3代入③，得 z＝1， 故原方程组的解是， 又∵方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8， ∴3k+2×5﹣3×1＝8， 解得，k＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握解方程组的方法是解题的关键． 6. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质依次判断． 【详解】解：A、若c≠0时，成立，故该项错误； B、分式的分子、分母不能同时加减同一个数，故该项错误； C、该分式的分子乘以a2，而分母除以b2，故该项错误； D、分式的分子分母同时除以c2，且c2≠0，故该项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握性质是解题的关键． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】解：A. ，故本选项正确； B. ，，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式． 8. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A. 15°或75° B. 30° C. 150° D. 150°或30° 【答案】D 【解析】 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=30°； ∴顶角是30°； 当高在三角形外部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D， ∴∠BAD=30°， ∴∠BAC=180°-30°=150° ∴顶角是150°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 9. 下列推理中，错误的是（ ） A. ∵，，∴ B ∵，，∴ C. ∵，，∴ D. ∵，，∴ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了线段和角的传递性，平行线的性质，垂直与同一条直线的两直线平行， 根据线段和角的传递性，平行线的性质，垂直与同一条直线的两直线平行求解即可． 【详解】A．∵，，∴，正确，不符合题意； B．∵，，∴，正确，不符合题意； C．∵，，∴，正确，不符合题意； D．∵，，∴，原推理错误，符合题意． 故选：D． 10. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE． ∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE．本结论正确． ②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°． ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD⊥CE．本结论正确． ③∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∴∠ABD+∠DBC=45°． ∵∠ABD=∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确． ④∵BD⊥CE， ∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2． ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴DE=AD，即DE2=2AD2． ∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2． 而BD2≠2AB2，本结论错误． 综上所述，正确的个数为3个． 故选C． 二、填空题本大题共8小题．每小题3分，共24分，把答案相对应的位置上． 11. 将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是_______． 【答案】如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点 【解析】 【分析】本题考查写原命题逆命题．根据题意将原命题的结论作为新命题的条件，原命题的条件作为新命题的结论，写成“如果．．．那么．．．”的形式即为原命题的逆命题． 【详解】解：∵线段的中点到这条线段两端的距离相等， ∴原命题为：如果这个点是线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等， ∴逆命题为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点， 故答案为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点． 13. 如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，的周长为12cm，则的周长为__________cm． 【答案】19 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得EA=EB，由三角形的周长和BC的长度可得AC的长度，即可得． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴EA=EB， ∵BC=5cm，的周长等于12cm， ∴， ∴， ∵AB=AC， ∴的周长为：7+7+5=19（cm）， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 14. 二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为：， 故答案为：． 15. 设，则从小到大的顺序是______． 【答案】 【解析】 【分析】将c分母有理化可比较出b于c的大小，再通过比较a与c的平方可比较出a与c的的大小，再进行比较即可． 【详解】解：c=； ∵， ∴b＞c， 又∵，，且＞1， ∴a2＜c2， ∴a＜c， ∴a＜c＜b． 故答案为a＜c＜b． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，分母有理化，找到有理化因式是解题的关键． 16. 如果二次三项式可以分解为，那么的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．因式分解的结果利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：， ． 故答案为：3． 17. 如图，已知为等腰直角三角形，，点D在上，，E为边上的动点，则周长的最小值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了轴对称-线路最短的问题，勾股定理，等腰三角形的性质，确定动点E何位置时，使的值最小是解题的关键．作点关于的对称点，连接交于，连接，连接交于点P，得到，，，推出，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，连接交于点P， ∵为等腰直角三角形，点关于的对称点为， 是的垂直平分线，， ∴，，， ， ， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为：， 故答案为：12． 18. 若关于x的不等式恰有三个整数解，则，实数a的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据不等式组恰有三个整数解，即可确定不等式组的解集，从而即可得到一个关于a不等式组，解之即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 三、解答题（本大题共96分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔） 19. 计算题： （1）计算：． （2）解方程组：． （3）分解因式：； （4）通分：． 【答案】（1） （2） （3） （4）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算、因式分解、分式的通分以及二元一次方程组的解法． （1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案； （2）直接利用二元一次方程组的解法得出答案； （3）先提公因式，再利用公式分解因式即可； （4）先把分母分别分解因式，再确定最简公分母通分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 化简，得：， 得：， 把代入①，解得：， 方程组的解是； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ， 最简公分母是， ． 20. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°． (1) 写出图中任意一对互余的角； (2) 求∠EOF的度数． 【答案】（1）∠BOF和∠BOD互余（答案不唯一）；（2）54° 【解析】 【分析】（1）根据两角互余的性质得出互余的角； （2）首先根据题意得出∠COF=90°，根据∠AOC的度数得出∠BOF和∠BOD的度数，根据角平分线的性质得出∠BOE的度数，从而根据∠EOF=∠BOF+∠BOE得出答案． 【详解】解：（1）∠BOF与∠BOD（答案不唯一）； （2）∵∠COF＝180°－∠DOF＝90°， ∴∠BOF＝180°－∠AOC－∠COF＝180°－72°－90°＝18° ∴∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝90°－18°＝72°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠BOD＝36°， ∴∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝18°＋36°＝54° 21. 计算：在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作关于y轴成轴对称的，并写出的坐标； （2）在y轴上有一点P，使的值最小，请在坐标系中标出点P的位置． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点，连接即可； （2）连接，与y轴交点即为点P． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：连接交y轴于一点，即为所求的点P． 【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换和最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质． 22. 某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出的长，进而求出的长，即可得出答案，根据题意求出的长是解题关键． 【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下： 如图，设与矩形的宽的交点为E， ， ， ∴， ∴这辆货车不能通过这个大门． 23. 已知x是的整数部分，y是的小数部分，求x(－y)的值． 【答案】9 【解析】 【分析】由于3＜＜4，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中计算出结果即可． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴的整数部分x=3，小数部分y=﹣3， ∴﹣y=3， ∴x（﹣y）=3×3=9． 24. 某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买，已知今年5月份青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元． （1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？ （2）6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区销售价格均在今年5月份的基础上降低，预计这种青椒在市区、园区的销量将在今年5月份的基础上分别增长30%，20%．要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则的最大值是多少？ 【答案】（1）今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克 （2）10 【解析】 【分析】（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了千克，根据等量关系列出方程求解即可； （2）根据题意列出关于a的一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设在市区销售了x千克，则在园区销售了千克， 则， 解得：x＝2000， ． 故今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克． 【小问2详解】 解：依题意可得，， 解得：． 故a的最大值是10． 【点睛】考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出方程和不等式并正确求解． 25. 如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，证明下列结论： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】证明，可得结论； 设，，利用三角形的外角的性质，构建方程组，可得结论． 【小问1详解】 证明：，，， ， ， 【小问2详解】 设，， 则有， 可得． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题． 26. 如图（1），在平面直角坐标系中，，，过C作轴，且满足． （1）求三角形的面积． （2）若过B作交y轴于D，且分别平分，如图2，求的度数． （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2） （3）P点坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解得，，则，，，即可计算出三角形的面积； （2）由于轴，，则，即，过E作，则，然后利用角平分线的定义可得到，，所以； （3）先根据待定系数法确定直线的解析式为，则G点坐标为，然后利用进行计算． 【小问1详解】 解：∵ ，，， ∴，， ∴，， ∵ ∴，，， ∴三角形的面积； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴， ∴， 如图，过E作， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 设P点坐标为，直线的解析式为， 把，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴G点坐标为， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或． 【点睛】本题考查非负数的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一次函数的图象和性质等，解题的关键是综合应用上述知识点． 27. 如图1，一副三角尺的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转． （1）将绕着点旋转图的位置，若，则______． （2）若，在旋转的过程中的度数会发生变化吗？若不变化，请求出这个度数． （3）若，问题（2）中的结论还成立吗？请说明理由． （4）将绕点逆时针旋转度，当为多少时，两个三角形至少有一组边所在直线互相垂直（请直接写出所有答案）？ 【答案】（1）120 （2），不发生变化 （3）结论还成立，理由见解析 （4）或或或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了角和差计算、垂直的定义、四边形的内角和； （1）由，求出，然后计算即可； （2）根据，表示出和，然后计算的值即可； （3）根据，表示出和，然后计算的值即可； （4）分情况讨论，分别根据角的和差关系以及四边形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 若，即， ，， ， 即在旋转的过程中，不发生变化； 【小问3详解】 解：如图3， 若，即， ，， ， 即（2）中的结论还成立； 【小问4详解】 解：分情况讨论： ①如图， 当时， ， ； ②如图， 当时， ， ， ， ； ③如图， 当时，； ④如图， 当时，延长交于， ， ， ， ∴； ⑤如图， 当时，延长交于， ， ， ， ， ； ⑥如图， 当时，延长交于， ， ， ； 综上，当为或或或或或时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$