精品解析：河南省平顶山市汝州市有道实验学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 汝州市有道实验学校9月学习成果展示试卷 八年级数学 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查最简二次根式，根据最简二次根式条件进行判断即可，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题． 【详解】解：①， 故①不符合题意； ②，故②不符合题意； ③，故③不符合题意； ④最简二次根式，故④符合题意； ⑤是最简二次根式，故⑤符合题意； ∴最简二次根式的有两个， 故选：C． 2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 3. 等边三角形的边长为2，则它的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD的长，代入三角形面积计算公式即可； 【详解】解：过C点作CD⊥AB于D， ∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2， ∴AD=， ∴在直角△ADC中， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想． 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算计算，最后再估算即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴，即在8到9之间， 故选：C． 5. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 6. 使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案. 解：由勾股定理得： ，，， ，即 ∴△ABC是直角三角形， 设BC边上的高为h， 则， ∴. 故选A. 点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键. 8. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 9. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，解题的关键是掌握相关的知识．先根据数轴判断出、和的符号，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（ ） A. B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴在中，有， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若直角三角形的三边长为5，12，，则的值为_____． 【答案】119或169 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，可有， 当长为的边为直角边时，可有， 综上所述，的值为119或169． 故答案为：119或169． 12. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 【答案】50 【解析】 【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边． ∵AB=5， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 13. 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】延长AB至点E，使BE=AB，过点D作DF⊥AB于F，得到DF及EF的长，当点E、P、D共线时，AP+DP=DE有最小值，利用勾股定理求出DE即可． 【详解】解：延长AB至点E，使BE=AB，过点D作DF⊥AB于F，则BF=CD=4，DF=BC=12， AP+DP=EP+DP，当点E、P、D共线时，AP+DP=DE有最小值， 在直角三角形DEF中，EF=BE+BF=5+4=9， ， ∴AP+DP的最小值为15， 故答案为：15． 【点睛】此题考查最短路径问题，勾股定理，熟记最短路径问题构造直角三角形解决是解题的关键． 14. 如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为， 根据题意，可得， ∵所有三角形都是直角三角形， ∴， ∴， 即正方形的面积为18． 故答案为：18． 15. 如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开， 由题意得， 中，由勾股定理得， ∵两点之间线段最短， ∴蜘蛛所走最短路径长度为， 故答案为：20． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并即可求解； （）利用完全平方公式和二次根式的性质分别运算，再合并即可求解； （）利用二次根式的乘除法运算法则计算，再合并即可求解； （）利用二次根式的性质先化简括号内的二次根式，再进行除法运算即可求解； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ， ， ； 【小问4详解】 解：原式 ， ． 17. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 18. （1）在图中的数轴上作出对应的点； （2）在（1）的条件下继续作出对应的点． 【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）过表示2的点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径，画弧，交数轴的正半轴于点，则点即为所求； （2）过点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，点即为所求． 【详解】解：（1）如图，点即为所求； 由作图可知：； （2）如图，点即为所求； 由作图可知：； 19. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】b 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：由数轴可得：， 原式． 20. （1） 已知的平方根是，的平方根是，求的算术平方根； （2） 若x，y都是实数， 且，求的立方根． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、平方根和立方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根非负性求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的平方根是， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 21. 如图所示， 一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为，假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用多少秒？ （结果保留一位小数） 【答案】最少要用秒 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得， ∵ ∴最短路径长为， ∴用时最少为秒． 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（2）式化简= ； （2）化简：． 【答案】(1) ﹣ ；(2)． 【解析】 【分析】（1）分子分母同时乘进行父母有理化即可； （2）参照（1）得出每个式子分母有理化后的式子，再进行加法运算即可， 【详解】解：（1） ==﹣ 故答案为：﹣； （2）原式=+++…+==． 23. 【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 解决问题】 （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】（1）5， （2）1 （3） 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算； （1）确定即可解答； （2）利用估算分别得到，，再代入计算即可； （3）利用估算方法得到，确定的整数部分是10，小数部分是，由此得到，计算出的值即可． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； 【小问2详解】 解：， 即， 的小数部分， ， 即， 的整数部分， ； 【小问3详解】 解：， ， 即， 的整数部分是10，小数部分是， 是整数，且， ， ， 的相反数是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 汝州市有道实验学校9月学习成果展示试卷 八年级数学 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2个 D. 1个 2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里 3. 等边三角形的边长为2，则它的面积为（　　） A B. C. D. 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 5. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ） A. B. C. D. 8. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. B. C. D. 9. 实数，在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（ ） A B. 25 C. 30 D. 35 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若直角三角形的三边长为5，12，，则的值为_____． 12. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 13. 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为_____． 14. 如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________． 15. 如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 18. （1）在图中的数轴上作出对应的点； （2）在（1）的条件下继续作出对应的点． 19. 如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 20. （1） 已知的平方根是，的平方根是，求的算术平方根； （2） 若x，y都是实数， 且，求的立方根． 21. 如图所示， 一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为，假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用多少秒？ （结果保留一位小数） 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（2）式化简= ； （2）化简：． 23. 【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$