精品解析：北师大版2024-2025学年九年级数学上册月考试题

2022—2023学年上期九年级月考数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用因式分解法解方程即可得出答案. 【详解】解：∵ ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法,利用此方法解方程时首先将方程右边化为0 ,左边化为积的形式,然后利用两数相乘积为0 ,两因式中至少有一个为0转化为两个一 元一次方程来求解. 2. 如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵菱形ABCD的周长是16， ∴AB=AD=CD=BC=4， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB=AD=BD=4． ∴对角线BD的长度为4． 故选C． 3. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　） A 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2， ∴22+2p﹣2=0， 解得：p=﹣1． 故选：C． 4. 正方形的对角线为，则这个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理，设正方形边长为，根据勾股定理得到，即可求出答案. 【详解】解：设正方形边长为， ∵正方形的对角线为， ∴， ∴， 即这个正方形的面积是， 故选：B 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6. 已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是，则n的值是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：由题意得：， 解得：n=6， 故选B． 考点：概率公式． 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识.证明四边形是菱形，再证明是等边三角形，得到，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴四边形平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴菱形的周长 故选：D 8. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 9. 某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（ ） A 2x2=9.5 B. 2（1+x）=9.5 C. 2（1+x）2=9.5 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 【答案】D 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x 则2014的教育经费为：2（1+x）万元， 2015的教育经费为：2（1+x）2万元， 那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 10. 如图，正的边长与菱形的边长相等，点E、F分别在、上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质． 在菱形中，设，则，由正的边长与菱形的边长相等，根据等边对等角得到，，从而，根据即可得到方程，求解即可． 【详解】解：在菱形中，设，则， ∵正的边长与菱形的边长相等， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵是正三角形， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 菱形的对角线长分别为菱形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理．根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求得其边长． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形， ∴菱形的边长， 故答案为：． 12. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，直接求解即可． 【详解】由题可知：，解得． 故答案为：9 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有两个相等的实数根时，；有两个不相等的实数根时，；无实数根时，． 13. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____________． 【答案】或24##24或 【解析】 【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的面积即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8， 则底边上高， ∴三角形的面积为：； 当时， ∵， ∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6， ∴三角形的面积为：； 综上：三角形的面积为：或24； 故答案为：或24． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，将□ABCD绕点A顺时针旋转，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在同一直线上．若∠CBA=115°，则∠CBD的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得出，则． 【详解】解：∵□ABCD绕点A顺时针旋转到□AEFG的位置， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等，找出旋转前后的对应线段、对应角是解题的关键． 15. 如图，正方形的边在正方形的边上，点O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接与交于点M，对于下面四个结论：①；②；③为等腰三角形；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的综合应用，解题时需要综合运用正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定等，解题的关键是作辅助线构造等腰三角形和等腰直角三角形，灵活利用直角三角形的边角关系来计算． 证明，即可证得，然后根据三角形的内角和定理证得，则，然后证明，可得，H是的中点，则是的中位线，根据三角形的中位线定理即可得到，以及，再根据等腰直角三角形的性质，得出，以及，根据，即可得出，最后根据等腰直角三角形的边角关系，得出，即可得到． 【详解】解：∵正方形的边在正方形的边上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵的平分线过点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴H为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 如图，连接， ∵O是的中点， ∴等腰中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是等腰三角形，故③正确； 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵中，， ，故④错误； 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键. （1）变形后利用配方法解方程即可； （2）整理后利用公式法解方程即可. 【小问1详解】 解： ∴ 则， ∴， 开平方得，， ∴ 【小问2详解】 ∴， 则， ∵， ∴ ∴ 17. 商店只有雪碧、可乐、果汁、奶茶四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶茶的概率是　 　； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶茶的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；故答案为； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况， ∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：． 考点：列表法与树状图法；概率公式． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解． 【详解】设这个增长率为x． 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8， 解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）． 0. 2=20%． 答：这个增长率是20%． 19. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元 （2）， （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】（1）根据盈利单件利润销售数量即可得出结论； （2）根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据盈利单件利润销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 解：当天获利：（元）； 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； 【小问2详解】 解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题关键． 21. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 【答案】（1）BD=CD．理由见解析；（2）AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 【详解】（1）BD=CD． 理由如下：依题意得AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一）， ∴∠ADB=90°， ∴▱AFBD是矩形． 22. 如图，在中，，．点P、Q为边及边上的两个动点．若点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，两个点同时出发． （1）经过几秒，的面积等于？ （2）是否存在平分的面积的情况？如果存在，请求出的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒 （2）不存平分的面积的情况．理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了图形动点运动以、解一元二次方程和一元二次方程根的判别式： （1）设运动时间为秒，根据的面积等于，列方程解方程即可作答； （2）依题意，列式得到，进一步得到，即可作答． 【小问1详解】 解:设运动时间为秒， ∵的面积等于， ∴， 解得． 故经过2秒或4秒，的面积等于； 【小问2详解】 不存平分的面积的情况． 理由：依题意有， 即， ∵ ∴不存在平分的面积的情况． 23. 如图1，正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD边上，点M是AE与BF的交点，且AE＝BF； （1）求证：BE＝CF； （2）如图2，以CF为边，作正方形CFGH，H在BC的延长线上，连接DH，判断BF与DH的数量关系和位置关系并证明； （3）如图3，连接AG，交DH于P点，求∠APD的度数． 【答案】（1）证明见解析（2）BF＝DH，且BF⊥DH（3）45° 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知AB=BC，∠ABE=∠C=90°，利用“HL”证Rt△ABE≌Rt△BCF即可得； （2）延长BF交DH于点K，先证△BCF≌△DCH得BF=DH，∠CBF=∠CDH，由∠CDH+∠CHD=90°知∠CBF+∠CHD=90°，即∠BKH=90°，从而得证； （3）连接EG，先证四边形BEGF是平行四边形得GE∥BF，GE=BF，由△ABE≌△BCF知∠CBF=∠BAE，BF=AE=GE，再证∠AEG=∠BME=90°可得∠EAG=45°，证四边形ADHE是平行四边形得DH∥AE，从而得∠APD=∠GAE=45°． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCF中， ∵ ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）， ∴BE＝CF； （2）BF＝DH，且BF⊥DH， 延长BF交DH于点K， ∵四边形ABCD和四边形CFGH是正方形， ∴BC＝DC，CF＝CH，∠BCF＝∠DCH＝90°， ∴△BCF≌△DCH（SAS）， ∴BF＝DH，∠CBF＝∠CDH， ∵∠CDH+∠CHD＝90°， ∴∠CBF+∠CHD＝90°， ∴∠BKH＝90°， ∴BK⊥DH，即BF⊥DH， 综上，BF＝DH，且BF⊥DH； （3）如图②，连接EG， ∵FG＝CH＝CF＝BE，且FG∥CH，即FG∥BE， ∴四边形BEGF是平行四边形， ∴GE∥BF，GE＝BF， ∵△ABE≌△BCF， ∴∠CBF＝∠BAE，BF＝AE， ∴GE＝AE， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠AEG＝∠BME＝90°， ∵AE＝GE， ∴∠EAG＝45°， ∵BE＝CH， ∴AD＝BC＝BE+CE＝CH+CE＝EH， 又AD∥EH， ∴四边形ADHE是平行四边形， ∴DH∥AE， ∴∠APD＝∠GAE＝45°． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练地灵活地运用知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022—2023学年上期九年级月考数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形ABCD周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　） A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 4. 正方形的对角线为，则这个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 6. 已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是，则n的值是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 8. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（ ） A. 2x2=9.5 B. 2（1+x）=9.5 C. 2（1+x）2=9.5 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 10. 如图，正的边长与菱形的边长相等，点E、F分别在、上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 菱形对角线长分别为菱形的边长为_____． 12. 如果关于一元二次方程有两个相等的实数根，那么______． 13. 三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____________． 14. 如图，将□ABCD绕点A顺时针旋转，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在同一直线上．若∠CBA=115°，则∠CBD度数为______． 15. 如图，正方形的边在正方形的边上，点O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接与交于点M，对于下面四个结论：①；②；③为等腰三角形；④，其中正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 17. 商店只有雪碧、可乐、果汁、奶茶四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶茶的概率是　 　； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶茶的概率． 18. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 19. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 20. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 21. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 22. 如图，在中，，．点P、Q为边及边上的两个动点．若点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，两个点同时出发． （1）经过几秒，的面积等于？ （2）是否存在平分的面积的情况？如果存在，请求出的长度；如果不存在，请说明理由． 23. 如图1，正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD边上，点M是AE与BF的交点，且AE＝BF； （1）求证：BE＝CF； （2）如图2，以CF为边，作正方形CFGH，H在BC的延长线上，连接DH，判断BF与DH的数量关系和位置关系并证明； （3）如图3，连接AG，交DH于P点，求∠APD的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$