精品解析：2023年江苏省南京市中考真题数学试题

南京市2023年初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2 分，共 12分． 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 6. 如图，不等臂跷跷板 的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板 的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题2 分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：____；____ 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 9. 计算 的结果是___． 10. 分解因式的结果是____． 11. 计算的结果是__________． 12. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 13. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是__________． 14. 在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且 ． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是____． 15. 如图， 与正六边形的边 ，分别相切于点C，F．若，则 的半径长为_____________． 16. 如图， 在菱形纸片中， 点E在边 上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则____ 三、解答题（本大题共11 小题，共88分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 18. 解不等式组，并写出它的整数解． 19. 如图，在中，点M，N分别在边上，且 ，对角线分别交于点E，F．求证． 20. 社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题． 2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP比重统计图 （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势： ②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大； ③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年， （2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论． 21. 某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览． （1）选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率： （2）选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为 ． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 23. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升 悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 24. 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔 所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下， 在地面上形成的影子为 （不计折射），． （1）在桌面上沿着 方向平移铅笔，试说明 的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且 ， ， ，桌面的高度为．在点O与 所确定的平面内，将 绕点A旋转，使得 的长度最大． ①画出此时 所在位置的示意图； ② 的长度的最大值为 cm． 25. 已知二次函数（a为常数， ． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若 ，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 26. 如图，在中，， 是的外接圆，过点 O作 的垂线，垂足为 D，分别交直线， 于点E，F，射线 交直线于点G． （1）求证． （2）若点E在的延长线上，且，求的度数． （3）当时，随着的长度的增大， 的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 27. 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． （1）如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） （2）如图③，经过，逆，得到 ，经过，顺，得到 ，连接， ．求证：四边形是平行四边形． （3）如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2023年初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2 分，共 12分． 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于 时，原数变为 时，小数点向左移动了几位， 的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：， ． 故选：C． 3. 若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长 ， 等腰三角形的周长， 故选：B． 4. 甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：， 所以， 故与 之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：D． 5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在 中，， 在中，， ， ， 解得， 在 中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 6. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边 ，短边 ，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边 ，短边 ，O离地面的距离为h， 根据相似得： ， 由 得：，解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题2 分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：____；____ 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的有关计算．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：2，2． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故答案为： ． 9. 计算 的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 分解因式的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 12. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32， ∴， 把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为， 故答案为：35． 13. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min）， 追及的路程为（km）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 所以乙车的速度v的取值范围是． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点 为原点，点A 在第一象限，且 ． 若反比例函数 的图像经过点，则 的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线 的交点时， 的值最大，由 的几何意义可知， 为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线 的交点时， 的值最大，且 ， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 15. 如图， 与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则 的半径长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得 ，过点O作于点M，解直角三角形即可得出结论． 【详解】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H， ， 是 的切线， ， 多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点O作于点M， ， ， 的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共11 小题，共88分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算．先计算括号里的减法，再将括号外的除法变为乘法，根据分式的乘法计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进一步求出它的整数解即可． 【详解】解：由，得：； 由，得： ； ∴不等式组的解集为， ∴它的整数解为：． 19. 如图，在中，点M，N分别在边上，且 ，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出， ，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵ ， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴． 20. 社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题． 2011~2022年中国社会物流总费用及占GDP比重统计图 （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①2011~2022年社会物流总费用占 GDP 比重总体呈先下降后稳定的趋势： ②2011~2016年社会物流总费用的波动比2017~2022年社会物流总费用的波动大； ③2012~2022 年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是 2021年， （2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP 相关的结论． 【答案】（1）①③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图和条形统计图．熟练掌握拆线统计图和条形 统计图中数据的变化趋势，是解决问题的关键． （1）根据折线统计图中数据变化趋势判断①；由条形统计图中每个时间段的极差判断②；比较条形统计图中几个增加较大的年份的增加数据，判断③； （2）根据2012年到2017年、2017年到2022年，两个时间段社会物流总费用变化占GDP比重的变化，说明我国GDP总量变化情况． 【小问1详解】 由拆线统计图看出比重总体呈先下降后稳定的趋势， 故①正确； ∵2011 ~2016 年社会物流总费用的波动范围为：， 2017 ~2022年社会物流总费用的波动范围为：， ∴2011 ~2016 年社会物流总费用的波动比2017 ~2022年社会物流总费用的波动小， 故②错误； 2012~2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度较大的几个年份： 2012年：， 2017年：， 2019年：， 2021年：， 2022年：， ∵， ∴其中增加的幅度最大的一年是 2021年， 故③正确． 故答案为： ①③． 【小问2详解】 根据统计图可得， ①从2012年到2017年社会物流总费用平稳增长，占GDP的比重却逐年递减；说明我国GDP总量在逐年增长； ②从2017年到2022年社会物流总费用逐年增加，占GDP的比重却趋于稳定，变化不大。说明我国GDP总量在逐年增长． 21. 某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览． （1）选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率： （2）选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可； （2）列出所有可能出现的情况，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中恰好是甲、乙的结果有2种； 则恰好是甲、乙的概率为：； 【小问2详解】 解：设“选取3个景点，甲、乙在其中”为事件A， 画树状图如下： 从图上可知，4个景点中随机选取3个景点的选法有： 种等可能结果，其中甲、乙在的结果有12种， 则． 故答案为：． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得 ， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 23. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升 悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作 于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作 于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 24. 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． （1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且 ， ， ，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【答案】（1）设平移到，在地面上形成的影子为． ， ， ， ， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）①以为圆心，长为半径画圆， 当 与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ② 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当 与相切于时，此时最大为．②先证明 ，再利用勾股定理求出 ，由，即可求出的长度的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ② ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， ， ， （舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为 ， 故答案为：80． 25. 已知二次函数（a为常数， ． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若 ，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则 的取值范围是． 【答案】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将 代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明 即可解决问题． （2）将 代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时， ，时 即，解得 ， 综上，当或 时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或 ． 26. 如图，在中，， 是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线， 于点E，F，射线交直线于点G． （1）求证． （2）若点E在的延长线上，且，求的度数． （3）当时，随着的长度的增大， 的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 【答案】（1） 连接并延长交于点H, 连接 ， ∵ ， ∴ 垂直平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴；　 （2） （3）当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大． 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点H, 连接 ，根据线段垂直平分线判断垂直平分，得到，结合，，即得； （2）连接，设，得，得，根据， 垂直平分，得到 ，得到，根据垂径定理推出 ，得到，在中，推出, 得到 ，即得 ； （3）在和中，根据，得，得，结合，得，当时， ，随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， ，随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，设， 由（1）知，， ∴， ∵, 垂直平分， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴, ∴ ， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ， ∴， 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ． 27. 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺 ，；若逆时针旋转，记作，逆 ，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． （1）如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） （2）如图③，经过，逆，得到 ，经过，顺 ，得到 ，连接，．求证：四边形是平行四边形． （3）如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，，进而作出图形； （2）根据 和位似， 与位似得出，，，进而推出 ，从而，进而得出，同理可得： ，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边 ，保证，作直径，保证 ，这样得出作法． 【小问1详解】 解：如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； 【小问2详解】 证明：和位似， 与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得： ， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆 ，作直径，连接， 3．作 ，，延长，交 于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知： ，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ， ， ， ， ， 作等边 ，保证，作直径，保证 ，这样得出作法； ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $