精品解析：2024年青海省西宁市虎台中学中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期九年级校三模测试卷 一、单选题（本大题共8题，每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 6 D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） A. B.   C.   D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10 5. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ） A. 74°12′ B. 74°36′ C. 75°12′ D. 75°36′ 7. 如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　） A. 10cm B. 15cm C. 10cm D. 20cm 8. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①a=4.5；②甲的速度是60km/h；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地180km．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分） 9. 分解因式：________． 10. 遵崇高速公路工程总投资约为6760000000元，用科学记数法表示这个数为__________元． 11. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 12. 如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是__________． 13. 如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号） 15. 为落实“数字中国”建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程__________． 16. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝__cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 17. 在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____． 18. 如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共76分） 19. 计算：． 20. 求代数式的值，其中 21. 解分式方程：． 22. 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气； B．电解水；C．木炭还原氧化铜； D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼．要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 请结合统计图回答下列问题： （1）填空： ， E所对应的扇形圆心角度数是 ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”？ （3）某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C，D，E 三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，求的长． 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； 25. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F． （1）求证：AC与⊙O相切； （2）当BD＝6，sinC时，求⊙O的半径． 26. 类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． （1）求点A，B，C的坐标． （2）若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． （3）若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期九年级校三模测试卷 一、单选题（本大题共8题，每题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式， 故选：B． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项正确； B、原式=，所以B选项错误； C、原式=，所以C选项错误； D、原式=，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） A. B.   C.   D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案． 【详解】主视图是从正面看这个几何体得到正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是：． 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是找准主视图所看的方向． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，此选项错误； 选项B，一组数据3，6，6，7，9的数的个数是奇数，故中位数是处于中间位置的数6，此选项正确； 选项C，从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量应该是200，此选项错误； 选项D，一组数据1，2，3，4，5的平均数=（1+2+3+4+5）=3，方差=［（1－3）2+（2－3）2+（3－3）2+（4－3）2+（5－3）2］=2，此选项错误． 故答案选B． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差公式是：s2[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]．也考查了统计的有关概念． 5. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 6. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ） A. 74°12′ B. 74°36′ C. 75°12′ D. 75°36′ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′．故选C． 考点：1．平行线的性质；2．度分秒的换算；3．跨学科． 7. 如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　） A. 10cm B. 15cm C. 10cm D. 20cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长；设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出r；接下来根据圆锥的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E，如图所示． ∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∴OE=OA=30cm， ∴弧CD的长==20π， 设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π， 解得r=10， ∴由勾股定理可得圆锥的高为：cm． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，扇形的弧长公式，圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①a=4.5；②甲的速度是60km/h；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地180km．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得， a=4+0.5=4.5，故①正确， 甲的速度是：460÷（7+）=60km/h，故②正确， 设乙刚开始的速度为xkm/h，则4x+（7-4.5）×（x-50）=460，得x=90， 则设经过bmin，乙追上甲， 90×=60×， 解得，b=80，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地：60×（7-4）=180km，故④正确， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分） 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，直接提取公因式，即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 遵崇高速公路工程总投资约为6760000000元，用科学记数法表示这个数为__________元． 【答案】 【解析】 【分析】把一个数记成，为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．确定，为整数）中的值是易错点，由于6760 000 000有10位，所以可以确定． 【详解】解：． 故答案为： 11. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； ②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故答案为：②④⑤． 12. 如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则，故这个正多边形的边数为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 13. 如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案． 【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6， ， ， 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键． 14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号） 【答案】100（1+） 【解析】 【详解】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可． 详解：如图， ∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°， ∴∠A=60°，∠B=45°， 在Rt△ACD中，∵tanA=， ∴AD==100， 在Rt△BCD中，BD=CD=100， ∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）． 答：A、B两点间的距离为100（1+）米． 故答案为100（1+）． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 15. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．设乙公司每天安装x间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列式即可得到答案． 【详解】解：设乙公司每天安装x间教室，由题意可得， ， 故答案为： 16. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝__cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 【答案】75 【解析】 【分析】先根据垂径定理可得，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 故答案为：75． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 17. 在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____． 【答案】9或1 【解析】 【详解】【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种： ①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值； ②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论． 【详解】有两种情况： ①如图1，∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 由勾股定理得：BD==5， CD==4， ∴BC=BD+CD=5+4=9； ②如图2，同理得：CD=4，BD=5， ∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1， 综上所述，BC的长为9或1； 故答案为9或1． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题． 18. 如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作于，则，由，可得，即在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，由，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，作于， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴在距离为2直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共76分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数运算．先计算算术平方根、负指数、特殊角三角函数和0指数，再进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 求代数式的值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 21. 解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 22. 某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气； B．电解水；C．木炭还原氧化铜； D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼．要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 请结合统计图回答下列问题： （1）填空： ， E所对应的扇形圆心角度数是 ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”？ （3）某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C，D，E 三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1）50， （2）估计该校九年级 1100名学生中有165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜” （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格． （1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可； （2）用1100人乘以类所占的百分比即可； （3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 抽取的学生人数为 (人)， 选择C的学生人数为 (人)， 故； E所对应的扇形圆心角是， 故答案为：50，： 【小问2详解】 (人)， 答：估计该校九年级 1100名学生中有 165人最擅长的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”； 【小问3详解】 根据题意列表如下： A B C D E A (A， B) (A， C) (A， D) (A， E) B (B， A) (B， C) (B， D) (B， E) C (C， A) (C， B) (C， D) (C， E) D (D， A) (D， B) (D， C) (D， E) E (E， A) (E， B) (E， C) (E， D) 由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有 6种，分别为(C， D)， (C， E)， (D， C)， (D， E)， (E， C)， (E， D)， ∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊) 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， 把代入得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象，当时不等式的解集为． 25. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F． （1）求证：AC与⊙O相切； （2）当BD＝6，sinC时，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OE，只需证明OE⊥AC即可； （2）在△BCD中，根据BD=6，sinC=可求BC=AB=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10-r，在Rt△AOE中，根据sinA=sinC=，可求r的值． 【小问1详解】 证明：连接OE， ∵AB=BC且D是BC中点， ∴BD⊥AC， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BD， ∴OE⊥AC， ∴AC与⊙O相切； 【小问2详解】 解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC， ∴BC=10， ∴AB=4， 设⊙O 的半径为r，则AO=10-r， ∵AB=BC=10， ∴∠C=∠A ∴sinA=sinC=， ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC。 ∴sinA=， ∴r=． 【点睛】本题主要考查了切线的判定及三角函数的应用，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 26. 类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）证明即可证明； （2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可； （3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可． 详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）过作轴于点， ∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y， ∴，，， ∵以为直角边作等腰直角，使， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴y与x的函数关系为； （3）∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵现将沿直线折叠， ∴， ∵过点P作的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴当时，为最大值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键． 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． （1）求点A，B，C的坐标． （2）若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． （3）若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为； （2）或 （3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标． 【小问1详解】 令，则， 解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为； 【小问2详解】 ，， ， 设点的坐标为， ． ，． 当时，， 当时，， 点的坐标为或； 【小问3详解】 在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下： ，， ． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 将代入，得． ． 点在射线上， 点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图2． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图3，过点作于点． 由①得点的坐标为， ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图4． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$