精品解析：陕西省咸阳市秦都中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

C（北师大版） 2024～2025学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数字 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 菱形的对角线，，则菱形的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 4. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形．故正确， B、∵， ， 平行四边形为矩形．故正确． C、， ， ∵平行四边形， ， 平行四边形是矩形，故正确， D、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 7. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 8. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用证明，故得，进而得出，在中利用勾股定理即可解得的长．本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 又， ， ， ∴， ， 又， ， ∴中，． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若是关于的一元二次方程，则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程x2－x+m=没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可。 【详解】解：∵方程x2－x+m=没有实数根， ∴△=， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11. 如图菱形 中， ，的垂直平分线交对角线于点E，连接，则的度数是________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质；根据菱形的性质可得，，再证明，再结合菱形的轴对称的性质可得答案； 【详解】解：如图，连接， ∵菱形 中，， ∴，， ∴，， ∵的垂直平分线交对角线于点E， ∴， ∴， ∴由菱形的轴对称的性质可得： ， 故答案为： 12. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 13. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ∴，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为的长． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， 解得，． 15. 已知关于的一元二次方程．求证：此方程总有两个实数根． 【答案】 证明： ， ∴此方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根判别式与一元二次方程根的关系．一元二次方程根判别式与根的关系：一元二次方程有两个相等实数根；一元二次方程有两个不相等实数根；一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根判别式的非负性，可得出方程总有两个实数根． 【详解】略 16. 如图，在中，点D在边AC上，连接BD，，E是CD的中点，F是AB的中点，连接EF，求证：． 【答案】 证明：连接BE，如图． ∵，E是CD的中点， ∴， ∴， ∵F是AB的中点， ∴． 【解析】 【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC，求出∠BEA=90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质，能求出BE⊥AC是解此题的关键． 17. 某工厂由于技术革新，产量有了很大的提高．原来每个月的产量为1000吨，两个月后，增至1210吨，求该厂产品的月平均增长率． 【答案】10% 【解析】 【分析】设该厂月平均增长率为x，则两月后产量可表示为，由此建立一元二次方程求解并取合适结果即可． 【详解】解：设该厂月平均增长率为x， 由题意，， 解得，，（舍去）， ∵ ∴设该厂月平均增长率为10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，掌握增长率公式是解题关键． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，，求证：平行四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，先证明，则由勾股定理的逆定理可得，据此可证明平行四边形是菱形． 【详解】略 19. 如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，小华要为一个长6分米，宽4分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度． 【答案】小华添加的边框的宽度为1分米 【解析】 【分析】设小华添加的边框的宽度为x分米，则可求出边框面积．再根据边框面积与电子小报内容所占面积相等，可列出等式，解出x即可． 【详解】设小华添加的边框的宽度为x分米， 则可列方程 解得：，（舍）． 所以小华添加的边框的宽度为1分米． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．用未知数表示出边框面积是解题关键． 21. 已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【答案】 ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】略 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 【答案】20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先设每件童装降价元，可表示每天可销售量，每件利润，再根据总利润等于1200列出方程，求出解即可． 【详解】解：设每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元， 则根据题意，得：． 解得：，， ∵要最大限度地扩大销售量，增加利润， ∴， 答：当每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 23. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】略 24. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若矩形车棚的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）请问能围成面积为的矩形车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）长为，宽为 （2） 不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 设车棚宽度为，则车棚长度为， 由题意得：，    整理得：， ∵，    ∴原方程无解， ∴不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根的判别式． （1）设车棚宽度为，则车棚长度为，矩形车棚的面积为，据此列方程，解方程即可； （2）设车棚宽度为，则车棚长度为，围成面积为的矩形车棚，据此列方程，利用根的判别式判断方程解得情况，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设车棚宽度为，则车棚长度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：自行车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 略 26. （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，理由： ∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ C（北师大版） 2024～2025学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数字 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形的对角线，，则菱形的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 3. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 5. 如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若是关于的一元二次方程，则 ______． 10. 关于x的一元二次方程x2－x+m=没有实数根，则m的取值范围是______． 11. 如图菱形 中， ，的垂直平分线交对角线于点E，连接，则的度数是________． 12. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 _______． 13. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 已知关于的一元二次方程．求证：此方程总有两个实数根． 16. 如图，在中，点D在边AC上，连接BD，，E是CD的中点，F是AB的中点，连接EF，求证：． 17. 某工厂由于技术革新，产量有了很大的提高．原来每个月的产量为1000吨，两个月后，增至1210吨，求该厂产品的月平均增长率． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，，求证：平行四边形是菱形． 19. 如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 20. 如图，小华要为一个长6分米，宽4分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度． 21. 已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 23. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 24. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 25. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若矩形车棚的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）请问能围成面积为的矩形车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 26. （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $