精品解析：河南省南阳市内乡县赵店初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学月考试卷 2024.9 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（　　） A. 2018 B. 2011 C. 2014 D. 2021 4. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 5. 已知是方程的两根，则，分别为（ ） A. B. C. D. 6. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8. 已知 ，则 的值为( ) A. -5或1 B. 1 C. 5 D. 5或-1 9. 已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 6 D. 4 10. 若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长（　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 二．填空题（共5小题，满分15分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 12. 计算的结果为______________ ． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 14. 代数式的最大值为_____________ ． 15. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） 17. 选用适当的方法解下列方程： （1）； （2） （3） （4） 18. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 19. 已知2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，求方程的另一个根和c的值． 20. 同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题： （1）式子有意义，则x的取值范围______； （2）计算：的值； （3）已知：，求xy的值． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知：，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 23. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考试卷 2024.9 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A项，是最简二次根式，符合题意； B项，，故原式不是最简二次根式，不符合题意； C项，，故原式不是最简二次根式，不符合题意； D项，，故原式不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不能含有开的尽方的因数或者因式是解答本题的关键． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行判断．由二次根式的加减运算、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（　　） A. 2018 B. 2011 C. 2014 D. 2021 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代入求值，根据题意可得，再把代数式变形为，代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程为的解是， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：移项，得x2－6x＝－3， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得 x2－6x＋(－3)2＝－3＋(－3)2， 即(x－3)2＝6． 故选B． 点睛：配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 已知是方程的两根，则，分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：是方程的两根， ， ，， 故选：C． 6. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 7. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据新运算得到x2﹣x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式确定方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，即x2﹣x+1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0， ∴方程无实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，解题关键是利用定义运算把方程转化为一元二次方程． 8. 已知 ，则 的值为( ) A. -5或1 B. 1 C. 5 D. 5或-1 【答案】B 【解析】 【分析】将设为a，分解因式即可得（a-1）（a+5）=0，即可求出的值. 【详解】解：设a=，则原式=（a+1）（a+3）=8， 去括号得a2+4a+3=8, 移项得a2+4a-5=0， 分解因式得（a-1）（a+5）=0, 解得a=1或a=-5， ∵=a≥0 ∴a=-5（舍去）， 故选B. 【点睛】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．关键是将设为一个整体． 9. 已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m，n的值，再代入进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：A． 10. 若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长（　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据绝对值的非负性、二次根式的非负性求出m、n的值，再根据三角形的三边关系、等腰三角形的定义求出第三边长，然后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由题意得：， 解得， 设等腰的第三边长为a， 恰好是等腰的两条边的边长， ，即， 又是等腰三角形， ， 则的周长为， 故选：B 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、二次根式的非负性、三角形的三边关系、等腰三角形的定义等知识点，根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义求出第三边长是解题关键． 二．填空题（共5小题，满分15分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 12. 计算的结果为______________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用同底数幂的乘法逆运算和积的乘法逆运算法则变形为，再利用平方差公式计算括号内的式子，最后利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 14. 代数式的最大值为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用；完全平方公式，利用完全平方公式配方后判断即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为， 故答案为：． 15. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 【答案】24或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图） 利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零次幂，负整数指数幂； （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （3）先计算负整数指数幂，再计算二次根式的加减即可； （4）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，然后根据二次根式的除法法则计算即可； （5）先根据平方差公式、二次根式的性质、零次幂、分母有理化进行化简，然后计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ； 【小问5详解】 原式 ． 17. 选用适当的方法解下列方程： （1）； （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）方程利用直接开平方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可； （4）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 ， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ， ∴， ∴ 【小问3详解】 整理得， ∴或， ∴； 【小问4详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，二次根式的性质和绝对值的性质．根据进行化简，然后再利用绝对值的性质化简，再合并同类项即可． 【详解】由数轴可得， ∴，，，， ∴ ． 19. 已知2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，求方程的另一个根和c的值． 【答案】x=2+,c=-1 【解析】 【详解】试题分析：设出方程另一根，利用根与系数的关系建立方程求解即可得出结论． 试题解析：解：设方程的另一根为m，由题意得： ，解得： 答：方程的另一根为：x=2+，c的值为﹣1． 点睛：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解答本题的关键是求出方程的另一根． 20. 同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题： （1）式子有意义，则x的取值范围______； （2）计算：的值； （3）已知：，求xy的值． 【答案】（1） （2） （3）-6 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案； （2）直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质化简得出答案； （3）直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：式子有意义，则x-3≥0， 解得：x≥3； 故答案为：x≥3； 【小问2详解】 解：原式==2-= 【小问3详解】 解：若有意义， 则x-2≥0且2-x≥0， 解得：x=2， ∴y=-3， 则xy=2×（-3）=-6． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】括号内先通分，进行分式加减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分后得到结果，再把x的值代入计算． 【详解】解：原式= = =， 当时， 原式==． 考点：分式的化简求值． 22. 已知：，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式以及分式的加法运算； （1）先求出，，的值，再对所求式子变形，然后代入计算即可； （2）根据分式的运算法则变形，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴ ． 23. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）移项整理成一般形式：，Δ==1+4， ∵≥0， ∴1+4>0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）m的值为±2，方程的另一个根是4 【解析】 【分析】（1）移项，整理化成方程的一般形式，求出根的判别式，即可判断方程根的情况． （2）把x=1代入原方程，可得出m的值，再把m的绝对值代回原方程，解出x的另一个值． 【详解】解：（1）略 （2）若方程的一个根是1，则（1－3）（1－2）=， ∴m=±2， ∴， 故答案为：m的值是±2，方程的另一个根是4． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $