专题2.5 解题技巧专题：与绝对值的有关的化简求值问题（8大考点）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题2.5 解题技巧专题：与绝对值的有关的化简求值问题 目录 【考点一 化简含绝对值的多重符号】 1 【考点二 已知参数的范围化简绝对值】 3 【考点三 利用绝对值非负性进行求解】 5 【考点四 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 8 【考点五 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 11 【考点六 利用绝对值的意义求式子的值】 14 【考点七 利用绝对值的性质分类讨论】 17 【考点八 数轴上绝对值的几何意义】 20 【典型例题】 【考点一 化简含绝对值的多重符号】 例题：（2024七年级上·江苏·专题练习） ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24七年级上·辽宁营口·阶段练习）比较大小（填“＞”、“＜”或“＝”）0 ， ， 3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 4．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 【考点二 已知参数的范围化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则化简 ． 【变式训练】 1．（2023七年级上·福建·专题练习）若，则 ；当时， ． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 4．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【考点三 利用绝对值非负性进行求解】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）若，则 ； ． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若则 ． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）式子的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）若有最小值，则当 时，取最小值，最小值为 ． （2）若，则 ， ． （3）有最 （填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是 ． 【考点四 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东潍坊·开学考试）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 【考点五 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知三个实数、、在数轴上对应的点如图所示． (1)判断正负： 　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0． (2)根据（1）中的判断化简：． 3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0； (2)化简：． 【考点六 利用绝对值的意义求式子的值】 例题：（23-24七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，那么 ． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，则 ． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）已知，且，且的值等于 ． 4．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）已知，，求的值为 ． 5．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）若，，且的绝对值与它的相反数相等，求的值． 【考点七 利用绝对值的性质分类讨论】 例题：若，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）对于有理数x，y，若，则的值是 ． 2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 3．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【考点八 数轴上绝对值的几何意义】 例题：（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）【定义】把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.可以理解为. 【运用】（1）若，则_______； （2）由，一定能得到吗？请说明理由． 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数a的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是在数轴上表示数a的点与-1所对应的点之间的距离． （1）式子的几何意义为______； （2）的最小值为_______． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 4．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 解题技巧专题：与绝对值的有关的化简求值问题 目录 【考点一 化简含绝对值的多重符号】 1 【考点二 已知参数的范围化简绝对值】 3 【考点三 利用绝对值非负性进行求解】 5 【考点四 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 8 【考点五 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 11 【考点六 利用绝对值的意义求式子的值】 14 【考点七 利用绝对值的性质分类讨论】 17 【考点八 数轴上绝对值的几何意义】 20 【典型例题】 【考点一 化简含绝对值的多重符号】 例题：（2024七年级上·江苏·专题练习） ， ， ， ， ． 【答案】 0 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义“”进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：；0；；；． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，相反数的定义，正确的化简各数是解题的关键． 先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：A．和不是互为相反数，故该选项不符合题意；     B．和是互为相反数，故该选项符合题意；     C．和不是互为相反数，故该选项不符合题意；        D．和不是互为相反数，故该选项不符合题意；         故选：B． 2．（23-24七年级上·辽宁营口·阶段练习）比较大小（填“＞”、“＜”或“＝”）0 ， ， 【答案】 ＜ = ＞ 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及绝对值的性质，熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】， ∵， ∴， ， ，， ∵， ∴， 故答案为：＜，=，＞ 3．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【知识点】化简绝对值、化简多重符号 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；3；；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；是解本题的关键． 4．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值的意义，根据多重符号化简和绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【考点二 已知参数的范围化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性，是解题的关键．根据负数的绝对值是正数，绝对值的非负性进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023七年级上·福建·专题练习）若，则 ；当时， ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及化简，由，可得，由绝对值的性质，即可求得的值；由，即可求得的值，又由绝对值的性质，即可求得的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． 故答案为：，5． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查绝对值的性质，当时，；当时，，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．由，根据绝对值的性质可得，然后然后合并同类项即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：4 4．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 【考点三 利用绝对值非负性进行求解】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）若，则 ； ． 【答案】 3 2 【知识点】绝对值非负性 【分析】根据有理数的非负性解答即可． 本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：3，2． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）式子的最小值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3 (2)1，2 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值； （1）有绝对值的非负性可以得出，代入即可求出答案． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是， 故答案为：1，． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）若有最小值，则当 时，取最小值，最小值为 ． （2）若，则 ， ． （3）有最 （填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是 ． 【答案】 6 0 2 6 大 5 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负数： （1）根据得到若有最小值，则，据此可得答案； （2）根据绝对值的非负性可得，则，据此可得答案； （3）根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴若有最小值，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，最小值为0， 故答案为：6；0； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；6； （3）∵， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为5， 故答案为：大；5． 【考点四 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴的定义，绝对值运算，掌握数轴的应以是解题的关键． 先根据a、b两点在数轴上的位置确定出其符号及大小，再进行解答即可． 【详解】解：由题可知：，且， ∴，，，． 故选C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查有理数的大小比较，把相关数标到数轴上，根据右边的数总比左边的数进行比较，是常用的解题方法．根据各个数在数轴上的位置，得到相应的大小关系，比较各个选项，得到结论正确的选项即可． 【详解】 解： 对于A，由数轴可知，故A选项错误，不符题意， 对于B，由数轴可知，故B选项错误，不符题意， 对于C，由数轴可知，故C选项错误，不符题意， 对于D，由数轴可知，故D选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级下·山东潍坊·开学考试）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论． 【详解】解：A．，结论A错误； B．，，，结论B错误； C．，，，结论C错误； D．，，，结论D正确． 故选：D． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴，由数轴判断出有理数的符号和绝对值的大小是解题的关键． 观察数轴可知，，且，利用加法法则依次对选项进行判断即可得出结果． 【详解】解：由在数轴上的位置可知，，且， A、， ，故选项不符合题意； B、，且， ，故选项不符合题意； C、，且， ，故选项不符合题意； D、， ， ，故选项不符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上的位置如图所示： ， 故①正确；，②错误；由①②可得，③正确； ， ，④错误； 综上所述，正确的有①③， 故选：C． 【考点五 利用点在数轴上的位置化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算： （1）根据数轴可得，据此逐一判断即可； （2）根据（1）所求先去绝对值，再利用整式的加减计算法则化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定出a、b、c的正负情况和绝对值的大小是解题的关键． （1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可； （2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， ，；， 故答案为：，，； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知三个实数、、在数轴上对应的点如图所示． (1)判断正负： 　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0． (2)根据（1）中的判断化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴的概念和数轴上点的位置所表示的数的大小关系、绝对值的性质．根据数轴上点的位置判断每个式子的正负性是解题的关键． （1）根据数轴得到后即可判断； （2）由（1）可知道每个式子的正负性，根据其正负性去掉绝对值符号计算即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：， 所以，，，， 故答案为：，，，． （2）解： ． 3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算．解题的关键是掌握数轴上的数右边比左边的大． （1）根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号即可； （2）先化简绝对值，再根据整式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：从数轴可知：， 所以， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知：， 所以 ． 【考点六 利用绝对值的意义求式子的值】 例题：（23-24七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，那么 ． 【答案】或或1或3 【知识点】绝对值的意义、有理数加法运算 【分析】此题考查了绝对值和有理数的加法运算．先根据绝对值求出，分四种情况分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或1或3 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，则 ． 【答案】1或5 【知识点】化简绝对值、有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值的意义，注意分类讨论是解本题的关键，防止漏解．根据绝对值的意义以及，可得，的值，再根据有理数减法，可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：1或5． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）已知，且，且的值等于 ． 【答案】或 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的意义 【分析】本题考查了有理数的加减法和绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并分类讨论是解题的关键．先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵ ∴或；或， 又∵， ∴当，时，， 当，时， 故答案为：或． 4．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）已知，，求的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的应用和有理数的加减运算，运用绝对值和已知条件确定a、b、c的值是解答本题的关键．根据绝对值和求得a、b、c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，或1， ∴或， 故答案为：或． 5．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）若，，且的绝对值与它的相反数相等，求的值． 【答案】的值为或 【知识点】有理数加法运算、绝对值的意义、相反数的定义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据，得出，，根据的绝对值与它的相反数相等得出，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵的绝对值与它的相反数相等， ， ∴， ∴，或，， 或， 的值为或． 【考点七 利用绝对值的性质分类讨论】 例题：若，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的值为3或， 故答案为：3或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）对于有理数x，y，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【详解】解：∵ ∴异号． ∴， ∴， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 3．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）当时，，当时，； （2）由数轴可知：，根据，计算求解即可； （3）若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况：①若n，m，p都为正数；②若n，m，p有两个正数；③若n，m，p有一个正数；④若n，m，p都为负数；分别化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴的值为； （3）解：若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况： ①若n，m，p都为正数，即，，，则； ②若n，m，p有两个正数，不妨设，，，则； ③若n，m，p有一个正数，不妨设，，，则； ④若n，m，p都为负数，即，，，则； 综上，若有三个均不为零的数n，m，p，则的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小．解题的关键在于分情况求解． 【考点八 数轴上绝对值的几何意义】 例题：（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【答案】（1）；   （2）  （3）或  （4），，， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在的左边；点在的右边；分别列式计算便可； （4）确定与的距离加上与的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数． 【详解】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是： ； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； 故答案为: ； ； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）表示数的点与表示数的点距离为， 当表示数的点在的左边时，， 当表示数的点在的右边时，， 所以或, 故答案为：或； （4）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， ∴可取的整数有:，，，． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【答案】(1)或 (2)有最大值是3 (3)小；2 【知识点】绝对值非负性、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答； （2）根据绝对值的非负性解答； （3）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据材料所求为x与之间的距离， ①x在左侧的数轴上时，， 即，， ②x在右侧的数轴上时，， 即，，； （2）解：代数式有最大值， ∵， ∴， 即时， 此时：有最大值是3； （3）解：根据绝对值的定义可知：表示点x到1与3两点距离之和， ， ∴点x在1与3之间时， 有最小值，其值为2． 故答案为：小；2． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）【定义】把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.可以理解为. 【运用】（1）若，则_______； （2）由，一定能得到吗？请说明理由． 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数a的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是在数轴上表示数a的点与-1所对应的点之间的距离． （1）式子的几何意义为______； （2）的最小值为_______． 【答案】【运用】（1）；（2）不能，理由见解析；【拓展】（1）在数轴上表示数a的点与所对应的点之间的距离；（2） 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据定义即可求解； 【运用】（1）由数轴上表示的点与原点的距离都为即可求解；（2）由绝对值的几何意义即可判断； 【拓展】（1）根据即可求解；（2） 【详解】解：【运用】（1）∵数轴上表示的点与原点的距离都为， ∴若，则； 故答案为： （2）由，不一定能得到，理由如下： 若，由绝对值的几何意义可知：或； 【拓展】（1）∵， ∴式子的几何意义为在数轴上表示数a的点与所对应的点之间的距离； 故答案为：在数轴上表示数a的点与所对应的点之间的距离； （2）∵， 故式子的几何意义为在数轴上表示数a的点与和所对应的点之间的距离之和； 当数a在和之间时，有最小值，最小值为：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4 (2)3，0 (3)或 【知识点】绝对值的其他应用、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 4．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$