精品解析：贵州省六盘水市第二中学2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题

六盘水市第二中学2022~2023学年度高二（上）11月月考 数学试卷 2022.11 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，再根据集合并集的定义计算． 【详解】，，． 故选：D． 2. 已知，是虚数单位，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算和复数相等的条件求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以. 故选：A 3. 若抛物线的准线方程为，则等于 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线准线方程求解即可 【详解】抛物线的准线方程为 故选：B 4. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设直线方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径， 圆圆心为，半径， 所以有 故选：C 5. 已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（ ） A. 双曲线的上支 B. 双曲线的下支 C. 双曲线的左支 D. 轴负半轴上的射线 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案. 【详解】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支. 故选：A. 6. 如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线性运算可得，由三点共线可得系数和为1，即可求出. 【详解】由题可得， ， 三点共线，，. 故选：D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程可得与的值，结合圆与椭圆的位置关系可得的不等式，求解即可. 【详解】由椭圆，得， 所以，又，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 其方程为，又点在上，所以圆与椭圆有四个公共点， 如图： 所以，解得且，所以的取值范围为. 故选：A 8. 已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解. 【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即， 且当时，， 又由. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。 9. 下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用作差法判断选项ABC的正误，利用基本不等式的使用条件判断D错误即可. 【详解】∵，故，A正确； ，，的符号不定，所以与的大小不定，B错误； ，故，C正确； ，当时，成立，但当时，，则不成立，故错误． 故选：BD． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是图象的一条对称轴 C. 的最小正周期为 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A，根据两角和公式得到，即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，根据周期公式即可判断C正确，对选项D，根据三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D正确. 【详解】对选项A， ， 故A正确； ，故B错误； 对选项C，，C正确； 将的图象向左平移个单位后得， 定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆．若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可能是（ ） A. -1 B. 0 C. D. -2 【答案】ABC 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据题设条件，求得，由圆C上存在点M，转化为两圆相交或相切，列出不等式，即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，即， 整理得． 因为圆C上存在点M，满足，所以两圆相交或相切， 所以，即，所以， 所以A，B，C均正确． 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中求得点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 当时，中 C. 当时，的面积为 D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可得出A项；设，根据已知列出关系式，求解得出的值，即可判断B项；根据余弦定理求出的值，即可根据面积公式得出面积；设，求出满足的点的个数，即可判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，，， 所以，. 对于A项，由椭圆的定义可得，， 又， 所以，的周长为，故A项正确； 对于B项，如图1，设，由椭圆的定义可知，， 又， 所以， 即，解得，即，故B项错误； 对于C项，在中，由余弦定理可得 ， 所以，， 所以，，故C项错误； 对于D项，设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如图3，当点位于短轴顶点时有， 所以，满足的点有2个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点， 即满足以及的点有4个. 综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D项正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 使得“”成立的一个充分条件是___________. 【答案】（答案不唯一，）. 【解析】 【分析】由于，故不等式等价于，解得，故只需写出的子集即可. 【详解】由于，故等价于，解得：， 使得“”成立的一个充分条件只需为集合的子集即可， 故答案可以为： 故答案为： 【点睛】本题考查充分条件，指数不等式，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知解指数不等式，进而需求不等式解集的子集即可. 14. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故答案为：. 15. 已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为，则圆锥的高，易知球心在圆锥的高线上，结合球的半径为5，利用勾股定理，由求得r，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高. 由题意知球心在圆锥的高线上，如图所示， ， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， 所以，，母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故答案为： 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为________.记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线的焦距为，离心率为2解出即可求得双曲线的方程，画出图象分析，记上的切点分别为，有横坐标相等，则，将转化为，将的横坐标求解出来，则有轴，设直线的倾斜角为，则，利用的范围求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为，离心率为2， 所以，，所以， 所以双曲线的方程为； 记上的切点分别为，有横坐标相等， 则，由， 即，得，即， 记的横坐标为，则，于是，得， 同理可得，内心的横坐标也为，则有轴，设直线的倾斜角为， 则，， 在中，， 由于直线与双曲线的右支交于A，B两点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义结合三角形的内切圆的性质得到的表达式，然后利用三角函数的性质即得. 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 17. 在中，角的对边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，，求外接圆的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和两角和与差的正弦公式即可求解； （2）根据余弦定理和正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理知，， 所以， ∴，且，， ∴，. 【小问2详解】 由余弦定理得，，， ∴，. ∴外接圆面积. 18. 年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为． （1）求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率． 【答案】（1）；平均值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可； （2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可 【小问1详解】 由频率分布直方图，可得， 则① 因为居民收入数据的第60百分位数为8.1， 所以， 则② 将①与②联立，解得． 所以平均值为． 【小问2详解】 根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则 ． ①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 ． ②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得 ． 所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率： ． 19. 已知直线与直线，. （1）若，求a的值； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）若直线与圆心为D的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 【答案】（1） （2）直线与圆C相切或相交 （3） 【解析】 【分析】（1）根据两直线互相垂直的充要条件即可求解； （2）求出直线恒过的定点，再判断定点与圆的位置关系即可求解； （3）由题意，圆心D到直线的距离是，利用点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，直线，直线，， 因为，所以，解得； 【小问2详解】 解：由题意，直线过定点， 因为， 所以点在圆上， 所以直线与圆C有一个或两个公共点， 所以直线与圆C相切或相交； 【小问3详解】 解：由题意，圆的圆心为，半径为， 因为为直角三角形，所以圆心D到直线的距离是， 即，解得， 所以a的值为. 20. 已知直线与抛物线相切，且切点为. （1）求直线的斜率的值； （2）如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线l的方程，与抛物线联立方程组，消去x整理后，由求的值； （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线PQ的斜率，化简得的值. 【小问1详解】 显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即， 解得 【小问2详解】 由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线BM的方程为，与联立，消去x整理得， 所以,得，从而， 将换成，同理可得， 所以. 21. 已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：； （2）若M是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，,平面平面,则平面, 又平面，则,又,因平面， 故平面, 因平面，故； （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理证，再由面面垂直证平面，得，可得平面，进而证得； （2）①连接,设,连接，利用线面平行的性质推得，确定点是线段上靠近点的三等分点，从而求得体积；②依题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，连接,设，连接, 因平面，且平面,平面平面,则， 故，在四边形中，由,可得, 故，即，即点是线段上靠近点的三等分点， 故 ② 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 因， 故,, 设平面的法向量为，则由， 可取， 易得平面的法向量可取为，故， 又由图知，二面角的平面角为钝角，故二面角的平面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断证明和空间向量在求空间角方面的应用. 解题关键在于要熟悉关于线面平行、垂直的判定和性质定理，熟练掌握利用条件建系，运用向量夹角的坐标公式计算求解空间角. 22. 平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线交轨迹于不同两点､，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，. 【解析】 【分析】 （1）设点，则，化简即可求得轨迹的方程； （2）若直线恰好过原点，直接计算的值即可；若直线不过原点，设直线，，求出相关点的坐标与向量，用表示出，联立直线与椭圆方程消去，利用韦达定理，化简求解即可． 【详解】（1）设点， 因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以， 化简可得 曲线的方程为：． （2）由题知， 若直线恰好过原点，则，，， ，，则， ，，则， ． 若直线不过原点，设直线，， ，，，，． 则，，，， ，，，， 由，得，从而； 由，得，从而； 故． 联立方程组得：，整理得，判别式恒大于零， ，， ． 综上所述，． 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六盘水市第二中学2022~2023学年度高二（上）11月月考 数学试卷 2022.11 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是虚数单位，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 3. 若抛物线的准线方程为，则等于 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（ ） A. 双曲线的上支 B. 双曲线的下支 C. 双曲线的左支 D. 轴负半轴上的射线 6. 如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。 9. 下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是图象的一条对称轴 C. 的最小正周期为 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆．若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可能是（ ） A. -1 B. 0 C. D. -2 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 当时，中 C. 当时，的面积为 D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 使得“”成立的一个充分条件是___________. 14. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为________. 15. 已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的侧面积为______. 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为________.记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 17. 在中，角的对边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，，求外接圆的面积 18. 年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为． （1）求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率． 19. 已知直线与直线，. （1）若，求a的值； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）若直线与圆心为D的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 20. 已知直线与抛物线相切，且切点为. （1）求直线的斜率的值； （2）如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 21. 已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：； （2）若M是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求二面角的平面角的余弦值. 22. 平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线交轨迹于不同两点､，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $