精品解析：辽宁省大连市第三十四中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

2023-2024学年辽宁省大连三十四中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转 后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是180° D. 有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意； D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式值等于0，求出m即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0， ∴m＝1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解答关键是由判别式的值为零构造方程求解. 4. 的直径为，点与点的距离为，点的位置（ ） A. 在⊙O外 B. 在⊙O上 C. 在⊙O内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即可求得答案． 【详解】∵⊙O的直径为15cm， ∴⊙O的半径为7.5cm， ∵O点与P点的距离为8cm， ∴点P在⊙O外． 故选A． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系．注意点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 5. 如图，在中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点、、在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 145° B. 130° C. 135° D. 125° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据旋转变换的性质求出∠BAC1=80°，得到∠CAC的度数即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠B=40°， ∴∠BAC=50°， 由旋转的性质可知，∠B1AC1=∠BAC=50°， ∴∠BAC1=80°， ∴∠CAC1=130°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、三角形内角和定理的应用，旋转变换的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 6. 把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（ ） A. y=（x-1）2-5 B. y=（x+1）2-5 C. y=（x+2）2-4 D. y=（x-3）2+5 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为y=（x+1）2-5 故选B 【点睛】本题考查了把二次函数配方成顶点式，掌握配方法是解题的关键． 7. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 8. 如图所示，△ABC中，D在AC上，DE⊥BC于E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AH⊥BC于H，由相似三角形的判定方法可证明△CED∽△CHA，再利用相似三角形的性质求出sinB的值即可． 【详解】解：过点A作AH⊥BC于H， ∵DE⊥BC于E， ∴AH∥DE， ∴△CED∽△CHA， ∴==， ∴AH=3DE， ∵sinB=，AB=4DE， ∴==， ∴sinB的值为， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是作三角形ABC的高线，构造出直角三角形． 9. 如图，平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图，利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，所以． 【详解】解：连接、，如图， 轴， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 10. 如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ） A. ∠DAE=∠B B. ∠EAC=∠C C. AE∥BC D. ∠DAE=∠EAC 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确， ∴AE∥BC，故C选项正确， ∴∠EAC=∠C，故B选项正确， ∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 随机掷一枚均匀的硬币三次，三次正面朝上的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现三次正面朝上的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】画树状图得： ∴一共有共8种等可能的结果；出现3次正面朝上的有1种情况． ∴出现3次正面朝上的概率是 故答案为． 点评：此题考查了树状图法概率．注意树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____． 【答案】2π 【解析】 【详解】试题分析：如图， ∠BAO=30°，AO=， 在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=， ∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1， ∴AB=，即圆锥的母线长为2， ∴圆锥的侧面积=． 考点：圆锥的计算． 13. 如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据以为位似中心的位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶ 以点为位似中心，按的比例把缩小， 点的对应点的坐标为∶ 或， 即或， 故答案为∶ 或． 【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，比例为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或 ． 14. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s=-3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是___秒． 【答案】## 【解析】 【分析】当汽车停下来时，s最大，故将s=-3t2+8t写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求． 【详解】解：∵s=-3t2+8t =-3（t-）2+， ∴当t=秒时，s取得最大值，即汽车停下来． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，点，，连接，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连接，，设点的运动时间是秒，当直线与坐标轴垂直时，的值为 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，合理分类讨论是解题的关键． 分类讨论垂直的情况，利用相似三角形和全等三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】①解：当轴时，延长交于点，设与的交点于点，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ， 又∵， ∴（SSS）， ∴， ∵，； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． ②当轴时，连接，与交于点，设与交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵ ， ∴(ASA)， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算及一元二次方程的解法，熟记实数混合运算的法则及一元二次方程的解法是解答此题的关键． （1）分别根据立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）用配方法求出方程的解即可． 【小问1详解】 原式， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 17. 南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次降价的百分率为10％；（2）选方案①更优惠 【解析】 【分析】（1）根据公式列出关系等式求解即可． （2）按照两种优惠方案，分别计算出优惠后的实际房款，再进行比较即可． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得 5000（1－x）2= 4050 解得：x1=10％，x2＝（不合题意，舍去） 答：平均每次降价的百分率为10％． （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元） 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元） ∵396900＜401400 ∴选方案①更优惠． 答：选方案①更优惠． 【点睛】本题考查了有关增长率问题的应用，增长或降低的基础公式为，n表示增长次数或降低．一般的方案问题，需要分别计算出各个方案的实际值，再作比较． 18. 2023﹣2024赛季中国男子职业联赛（简称）正在如火如荼的展开，卫冕冠军辽宁队表现突出，截至12月10日，以十二剩一负的战绩高居积分榜首位．某中学为了在校园推广篮球运动，计划在学校开展我最喜爱的辽篮运动员调查活动．学校经过初步调查，全校1000名同学中有800名同学喜欢看篮球，从喜欢看篮球的同学中随机抽取部分同学下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调资数据绘制成两幅不完整的续计图． 我最喜爱的辽篮运动员 请在下列选项中选择你最喜爱的辽篮运动员，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．郭艾伦□ B．赵继伟□ C．张镇麟□ D．韩德君□ 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中，的值为 ，选学生的圆心角为 ； （2）从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是 ； （3）学校计划从喜欢赵继伟的同学中挑选两位品学兼优的同学参与辽篮训练活动，甲、乙、丙、丁四名同学入围，采用随机抽签的方式，恰好抽中甲乙的概率是多少？请你用树状图或者列表法求出概率． 【答案】（1）； ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图，整体估计样本，概率等知识点，熟悉掌握树状图或者列表法求出概率是解题的关键． （1）根据条形图与扇形图的信息求解即可； （2）求出喜欢郭艾伦的人数，再用人数比上总数即可得到概率； （3）运用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是： ； ∵， ∴； 选学生的圆心角为： ； 故答案为：； ；； 【小问2详解】 估计800名喜欢看篮球的同学中，喜欢郭艾伦的人数为：（人）； ∴从全球的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：列出表格为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲乙的结果有2种， ∴． 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求出这个反比例函数的解析式； （2）若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； （3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）24 （3）用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流J是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式． （2）根据反比例函数关系式即可求解； （3）根据题意可得出，解不等式即可确定电阻的取值范围． 【小问1详解】 解：电流1是电阻R的反比例函数， 设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴， 【小问2详解】 当时， 则， ∴， 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， 则用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内． 20. 大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离 的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】0.9m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，并延长交于点E，根据矩形的性质得，在中，根据求出，在中，根据，求出，最后根据求出答案． 【详解】过点B作，交于点C，延长交于点E， ∴四边形是矩形， ∴． 根据题意可知， 在中，， ∴， 即， 解得． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴（m）． 所以海面与地面之间得距离 的长0．9m． 21. 如图，在 中，，点D为边的中点，以为直径作，分别与 交于点E、F，过点E作于G． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ 中，D为边中点， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴EG是的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，通过直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到 ，即可求证； （2）连接，求得，在 和 中，利用三角函数的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ，， ∴， 在 中， ，， ∴ ， 在 中， ，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，斜边中线等于斜边一半，解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 22. 有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： （1）在 中， ，， ，P是边上一个动点，则的最小值为 ； （2）已知抛物线 与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）延长到点D，使得 ，则 为等边三角形，过点B作 交于点P，则此时最小，，有，则； （2）①根据交点可设，解得 ，即可求得抛物线的解析式；②过点B作交于点P，则的值最小，则，且，即． 【小问1详解】 解：延长到点D，使得 ，如图， 则 为等边三角形， 过点B作 交于点P，则此时最小， ∵ 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得， ∴，解得 ， 故抛物线的解析式为； ②过点B作交于点P，如图， 则此时的值最小， ∵， ∴， 则， ∴， 那么，， 【点睛】本题主要考查胡不归的应用，涉及等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质得、待定系数法求二次函数的解析式和解直角三角形．解题的关键是熟悉胡不归的背景及其使用． 23. 数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，D是延长线上一点， ，且，找出图中与相等的线段并证明． （1）请回答王老师提出的问题． （2）数学活动小组对上述问题特殊化，如图2，为等边三角形，点D、E分别是延长线上的点，过B的直线交于M、N两点，，，若，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据 及，易得出 ，从而由三角形内角和定理得出与互补，则、、、四点共圆，然后由圆周角定理推导出 ，即可证明． （2）由（1）的结论构造等边，证明，则，根据已知条件及三角形内角和定理，求出和，再通过证明得到，进而求出答案． 【小问1详解】 解：，证明如下： 证明：， ． ， ． ． ． 、、、四点共圆． 如图，连接． ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点，连接． 由（1）可知， ， 又， 为等边三角形． ，， ， 又， ， ， ． 设，．则，． 由、、、四点共圆可知，，，则， 在 中，， ． ， ． 在中，，， ． ． 在△ 和中，，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定性质，三角形相似的判定与性质等，通过证明，把问题转化为求是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年辽宁省大连三十四中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是180° D. 有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形 3. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 的直径为，点与点的距离为，点的位置（ ） A. 在⊙O外 B. 在⊙O上 C. 在⊙O内 D. 不能确定 5. 如图，在中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点、、在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 145° B. 130° C. 135° D. 125° 6. 把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（ ） A. y=（x-1）2-5 B. y=（x+1）2-5 C. y=（x+2）2-4 D. y=（x-3）2+5 7. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，△ABC中，D在AC上，DE⊥BC于E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则 的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ） A. ∠DAE=∠B B. ∠EAC=∠C C. AE∥BC D. ∠DAE=∠EAC 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 随机掷一枚均匀的硬币三次，三次正面朝上的概率是______________． 12. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____． 13. 如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为___________ 14. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s=-3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是___秒． 15. 在平面直角坐标系中，点，，连接，动点从点出发，沿线段以每秒 个单位长度的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连接，，设点的运动时间是秒，当直线与坐标轴垂直时，的值为 ____________________． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 17. 南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 18. 2023﹣2024赛季中国男子职业联赛（简称）正在如火如荼的展开，卫冕冠军辽宁队表现突出，截至12月10日，以十二剩一负的战绩高居积分榜首位．某中学为了在校园推广篮球运动，计划在学校开展我最喜爱的辽篮运动员调查活动．学校经过初步调查，全校1000名同学中有800名同学喜欢看篮球，从喜欢看篮球的同学中随机抽取部分同学下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调资数据绘制成两幅不完整的续计图． 我最喜爱的辽篮运动员 请在下列选项中选择你最喜爱的辽篮运动员，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．郭艾伦□ B．赵继伟□ C．张镇麟□ D．韩德君□ 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中，的值为 ，选学生的圆心角为 ； （2）从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是 ； （3）学校计划从喜欢赵继伟的同学中挑选两位品学兼优的同学参与辽篮训练活动，甲、乙、丙、丁四名同学入围，采用随机抽签的方式，恰好抽中甲乙的概率是多少？请你用树状图或者列表法求出概率． 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求出这个反比例函数的解析式； （2）若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； （3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 20. 大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 21. 如图，在中，，点D为边的中点，以为直径作，分别与 交于点E、F，过点E作于G． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 22. 有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： （1）在中， ，， ，P是边上一个动点，则的最小值为 ； （2）已知抛物线 与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 23. 数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，D是延长线上一点， ，且，找出图中与相等的线段并证明． （1）请回答王老师提出的问题． （2）数学活动小组对上述问题特殊化，如图2，为等边三角形，点D、E分别是延长线上的点，过B的直线交于M、N两点，，，若，求的值（用含k的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $