精品解析：辽宁省大连市甘井子区大连汇文中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题

大连汇文中学22—23第一学期九年级数学随堂练习 一．选择题（本题有10道小题，每题3分，共计30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的定义：中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三月份为4万人，五月份为万人，设平均每月增长率为x，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键． 5. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵DE//AB， ∴ ∴的值为． 故答案为A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 7. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 8. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 10. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与x轴无交点 C. 这个函数的最小值小于-6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得：，解得：， ∴二次函数的解析式为=， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意； ∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)， ∴当时，y值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键． 二、填空题：（本题有6道小题，每题3分，共计18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据中位线定理得到DE=AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE． 【详解】解：∵点D，E分别为BC和AC中点， ∴DE=AB，DE∥AB， ∴△DEF∽△ABF， ∴， ∵BF=6， ∴EF=3， ∴BE=6+3=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF． 15. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 三．解答题（本题有4道小题，17—19毎题10分，20题9分，共计39分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）由平行线的性质得到，再由相似三角形的判定定理证明即可； （2）先得到，再证明，据此根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）直接写出不等式的解集为______； （3）求的面积． 【答案】（1）抛物线的解析式； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，令，求得的值，即可求得点的坐标； （2）根据图象，结合抛物线与轴的交点即可求解； （3）利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：，代入，得， 解得， 抛物线的解析式； 当时，则， 解得，， ； 【小问2详解】 解：抛物线开口向下，与轴的交点为，， 由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：，，， ，， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、求得交点坐标，数形结合是解题的关键． 20. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕A点按逆时针方向旋转得到． （1）画出； （2）直接写出点B的对应点的坐标为______； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，坐标与图形： （1）根据所给旋转方式结合网格的特点找到B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知点B的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：． 四、解答题（本题有3道小题，21题9分，22、23题每题10分，共计29分） 21. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去小正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的实际应用，设剪去小正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，再根据长方形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：剪去小正方形的边长为． 22. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 23. 某服装店以每件元的价格购进一批恤，物价部门规定某销售单价不得低于成本．经试销发现，在每件元的基础上涨价，则每月销售量(件)与每件涨价(元)符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当涨价多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是； （2）当涨价元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据利润售价进价销售量列出函数解析式，然后由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为 则， 解得， 与之间的函数关系式为， ， ， 自变量的取值范围是； 【小问2详解】 设服装店一个月内销售这种恤获得的利润为元， 根据题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当涨价元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键． 五．解答题（本题有3道小题、24、25题每题11分，26题12分，共计34分） 24. 如图，在中，，，线段在线段上（点E不与B重合），点F在点E的右侧，且．过点E作的垂线交折线于点G，设，的面积为S． （1）求的长； （2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，列函数关系式，相似三角形的性质与判定： （1）根据三线合一定理得到，再利用勾股定理求解即可； （2）分当时，当时，两种情况通过证明三角形相似用含x的式子表示出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴； 当时，则， 同理可证明， ∴，即， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，． 25. 如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． （1）求的度数； （2）求证：； （3）F是延长线上的点，且，若，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）由旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，据此可得； （2）由旋转的性质可得，，则由勾股定理得到，再证明，则由勾股定理得到，据此可证明结论； （3）证明，得到，再证明，得到，进而推出，则． 【小问1详解】 解：∵由绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 小问2详解】 证明：∵由绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为线段上一点，，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线在第三象限上一点，若，求点M的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）求出，利用相似三角形的性质出的长，进而即可求解； （3）设PM交x轴于点N，过点N作，可得再证明，可得，从而得直线的解析式为：，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于B， 令，得到， ∴ 由题意抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 小问2详解】 对于抛物线，令，解得或1， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设PM交x轴于点N，过点N作， ∵设， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连汇文中学22—23第一学期九年级数学随堂练习 一．选择题（本题有10道小题，每题3分，共计30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 8. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确是 A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与x轴无交点 C. 这个函数的最小值小于-6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 二、填空题：（本题有6道小题，每题3分，共计18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 14. 如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______． 15. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________． 三．解答题（本题有4道小题，17—19毎题10分，20题9分，共计39分） 17 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）直接写出不等式解集为______； （3）求的面积． 20. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕A点按逆时针方向旋转得到． （1）画出； （2）直接写出点B的对应点的坐标为______； （3）求的面积． 四、解答题（本题有3道小题，21题9分，22、23题每题10分，共计29分） 21. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去小正方形的边长． 22. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 某服装店以每件元的价格购进一批恤，物价部门规定某销售单价不得低于成本．经试销发现，在每件元的基础上涨价，则每月销售量(件)与每件涨价(元)符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当涨价多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 五．解答题（本题有3道小题、24、25题每题11分，26题12分，共计34分） 24. 如图，在中，，，线段在线段上（点E不与B重合），点F在点E的右侧，且．过点E作的垂线交折线于点G，设，的面积为S． （1）求的长； （2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围． 25. 如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． （1）求的度数； （2）求证：； （3）F是延长线上的点，且，若，求的值（用含k的式子表示）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点抛物线与x轴的正半轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为线段上一点，，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线在第三象限上一点，若，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $