精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年初中八上数学第一次月考试题 一、选择题（共7小题） 1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察可得：△ABC关于AD轴对称，且图中阴影部分的面积为△ABC面积的一半，先求出△ABC的面积，阴影部分的面积就可以得到． 【详解】根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半， ∵S△ABC=×BCAD=×4×5=10， ∴阴影部分面积=×10=5. 故答案选A. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称的性质. 2. 如图所示，于点E，于点D，交于点O，且平分，则图中的全等三角形共有（ ）对 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质；灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．可求证，；进一步可得，，，即可得到答案． 【详解】解：∵于点E，于点D ∴． ∵平分， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∵, ∴， ∴有4对， 故选：B． 3. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 4. 如图，内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为15cm，则的周长为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 15cm 【答案】D 【解析】 【分析】先根据轴对称的性质得出PA＝AG，PB＝BH，由此可得出结论． 【详解】解：∵P点关于OM的轴对称点是G， ∴PA＝AG， ∵P点关于ON的轴对称点是H， ∴PB＝BH， ∴的周长＝AP+PB+AB＝AG+AB+BH＝GH＝15cm． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴上的任意一点到一对对称点的距离相等是解答此题的关键． 5. 如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设管道，则所需管道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 6. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，.以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE； ②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE； ③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由∠ABD+∠DBC=45°，∠DAC+∠DCA=45°，∠ABD=∠ACD，推出∠DAC=∠DBC即可证明； 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，本选项正确； ②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°， ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ③∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD+∠DBC=45°， ∵∠ABD=∠ACE ∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确； ④∵∠ABD+∠DBC=45°，∠DAC+∠DCA=45°，∠ABD=∠ACD， ∴∠DAC=∠DBC，故本结论正确， 综上所述，正确的个数有4个， 故选D． 【详解】详解片段 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 7. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，④ C. ①，③，④ D. ②，③，④ 【答案】C 【解析】 【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD； ③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=60°； ④∵∠ABC=∠EBD=60°， ∴∠CBE=60°， ∵AB=BC，∠EAB=∠BCD， ∴三角形AGB≌三角形CHB， ∴GB=BH， ∴三角形BGH为等边三角形； ②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误； 故答案为C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共12小题） 8. 某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____． 【答案】E6395 【解析】 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成镜面对称，则该车牌照的部分号码为E6395． 故答案为：E6395． 【点睛】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 9. 三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， ∵三个三角形全等， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 故答案：． 10. 如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则______cm． 【答案】7 【解析】 【分析】根据直角三角形的内角之间的关系，找出相等的角证明，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别过点，作过点的直线的垂线， ∴与为直角三角形， ∴， ∵ ∴, ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，一线三垂直模型，能够根据直角三角形内角之间的关系找出相等的角是解决本题的关键． 11. 如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为_________． 【答案】10cm 【解析】 【分析】根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=AP，PB=BH，然后可得答案． 【详解】∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H， ∴AG=AP，PB=BH， ∵GH的长为10cm， ∴△PAB的周长为：AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm， 故答案为：10cm． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 12. 已知△ABC中，AB=10cm，AC=12cm，AD为边BC上的中线，求中线AD的取值范围___． 【答案】1cm＜AD＜11cm 【解析】 【详解】延长AD到E,使DE=AD,因为BD=CD, ,则 则CE=AB=10，因为AC=12，则 AE=2AD<22，则1cm＜AD＜11cm. 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的x值即可． 【详解】解：要使与全等，有两种情况：①， 点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为， ； ②，， 时间为秒， 即， 所以的值是或， 故答案为：或． 15. 如图，在三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长等于___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点C落在边上的点E处， ∴． ∵， ∴， ∴的周长 故答案为：9 16. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、G，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，，则____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：9． 17. 如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若，则∠2的度数为 _________． 【答案】或51度 【解析】 【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，，进而求出∠1+∠2，再由∠1 =129°即可求解． 【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF， ∵， ∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝， ∴∠1+∠2＝﹣＝， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOG+∠EOF+∠DOE＝ 是解题关键． 18. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点，处，则阴影部分图形的周长为_______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得=AE， =AD，=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长． 【详解】解：根据折叠的性质，得=AE， =AD，=DF． 阴影部分图形的周长= + +EB+ +FC+BC， =AD+(AE+EB)+(DF+FC)+BC， =AD+AB+DC+BC， =2BC+2AB， =2(BC+AB)， =2(6+12)， =36． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，长方形的性质，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长． 19. 如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___． 【答案】96°##96度 【解析】 【分析】根据题意由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行分析解答． 【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β， ∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'， ∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′， ∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=42°， ∴∠C′DB=∠BAC′+AC′D=42°+α，∠CEB′=42°+β． ∵C′D∥EB′∥BC， ∴∠ABC=∠C′DB=42°+α，∠ACB=∠CEB′=42°+β， ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即126°+α+β=180°． 则α+β=54°． ∵∠BFC=∠BDC+∠DBE， ∴∠BFC=42°+α+β=42°+54°=96°． 故答案为：96°． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是利用“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理． 三、解答题（共7小题） 20. 如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD． （1）证明：△AEO≌△BEC； （2）求OA的长； （3）F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）OA的长为6 （3）存在，当s或s时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等 【解析】 【分析】（1）根据三角形高得，根据角之间的关系得，用ASA即可证明； （2）根据边之间的关系得，即可得求出BC的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （3）由题意得，，，根据等边对等叫得，分情况讨论：时，OP=CQ，得，进行计算即可得，时，OP=CQ，得，进行计算即可得． 【小问1详解】 证明：∵AD，BE是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ (ASA)； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 【小问3详解】 存在，理由如下： 解：由题意得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，OP=CQ， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，OP=CQ， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． 21. 【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【解析】 【分析】[尝试探究]（1）根据正方形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）①把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； ②根据全等三角形的性质即可得出、和之间的数量关系； [模型建立]同理作辅助线，将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，同理可以得出； [拓展应用]把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形， ，， 点、分别为、中点， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ， ， ； （3）解：①（2）中的结论不成立． 证明：如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， ∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②， 证明：如图所示． 由①知，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图，． 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用] 解：是边长为的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形． 22. 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法： ①在和上分别截取，使． ②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C． ③作射线．则就是的平分线． 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在和上分别截取，使． ②分别过M、N做的垂线，交于点P． ③作射线．则为的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： （1）老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　． （2）小聪的作法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）正确．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大． （1）根据全等三角形的判定即可求解； （2）根据可证，再根据全等三角形的性质即可作出判断． 【小问1详解】 解：李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法． 故答案为：； 【小问2详解】 解：小聪的作法正确． 理由：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴平分． 23. 如图,,,,.求的度数. 【答案】55o 【解析】 【详解】试题分析：由∠BAC=∠DAE，可证∠1=∠CAE，再结合AB=AC，AD=AE，可用“SAS”证得：△BAD≌△CAE，从而可得∠ABD=∠2=30°，再由∠3=∠1+∠ABD就可求出结果了； 试题解析： ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠1=∠CAE， ∴在△BAD和△CAE中： , ∴△BAD≌△CAE（SAS）, ∴∠ABD=∠2=30°， ∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°. 点睛：在该题中，观察易发现∠3=∠1+∠ABE（三角形外角的性质），从而引导我们去思考证∠ABE=∠2；而已知∠BAC=∠DAE，且这两个角有公共顶点，故可得∠1=∠CAE，从而可证△BAD≌△CAE，来得到∠ABE=∠2，找到正确解题思路. 24. 在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】（1）①见详解②见详解 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）①由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得；②因为，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②由①知， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 25. 我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： （1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． （2）“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD； ②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°， 又∵AO=OB，OC=OD， ∴△OAC和△OBD是兄弟三角形； 【小问2详解】 ①证明：延长OP至E，使PE=OP， ∵P为BD的中点， ∴BP=PD， 又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP， ∴△BPE≌△DPO（SAS）， ∴BE=OD； ②证明：∵△BPE≌△DPO， ∴∠E=∠DOP， ∴BEOD， ∴∠EBO+∠BOD=180°， 又∵∠BOD+∠AOC=180°， ∴∠EBO=∠AOC， ∵BE=OD，OD=OC， ∴BE=OC， 又∵OB=OA， ∴△EBO≌△COA（SAS）， ∴OE=AC， 又∵OE=2OP， ∴AC=2OP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN=5cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）若∠APB=α，求∠MPN（用含α的代数式表示） 【答案】（1）△OEF的周长为5cm； （2）△PMN是等腰三角形； （3）∠MPN=2α． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，可得MW与OM的关系，OF与FN的关系，根据三角形的周长公式，可得答案； （2）根据轴对称的性质，可得PM与PO的关系，PO与PN的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案； （3）根据轴对称的性质，可得∠MPA与∠APO的关系，∠OPB与∠BPN的关系，根据角的和查，可得答案． 【小问1详解】 解：由点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，得 ME=EO，FN=FO． ∴△OEF的周长=OE+EF+OF=ME+EF+FN=MN=5(cm)； 【小问2详解】 解：如图： 由点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，得 PM=PO，PO=PN， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形； 【小问3详解】 解：由点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，得 ∠APO=∠APM，∠BPO=∠BPN． 由角的和差，得 ∠APO+∠BPO=∠APB=α， ∴∠APM+∠BPN=∠APO+∠BPO=∠APB=α， ∴∠MPN=∠MPA+∠APO+∠BPO+∠BPN=α+α=2α． 【点睛】本题考查了轴对称，利用对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年初中八上数学第一次月考试题 一、选择题（共7小题） 1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 如图所示，于点E，于点D，交于点O，且平分，则图中的全等三角形共有（ ）对 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 4. 如图，内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为15cm，则的周长为（ ） A 5cm B. 10cm C. 20cm D. 15cm 5. 如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，.以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，④ C. ①，③，④ D. ②，③，④ 二、填空题（共12小题） 8. 某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____． 9. 三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为________． 10. 如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则______cm． 11. 如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为_________． 12. 已知△ABC中，AB=10cm，AC=12cm，AD为边BC上的中线，求中线AD的取值范围___． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，________． 14. 如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为________． 15. 如图，在三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长等于___________． 16. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、G，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，，则____． 17. 如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若，则∠2的度数为 _________． 18. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点，处，则阴影部分图形的周长为_______． 19. 如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___． 三、解答题（共7小题） 20. 如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD． （1）证明：△AEO≌△BEC； （2）求OA的长； （3）F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 21. 【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 22. 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法： ①在和上分别截取，使． ②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C． ③作射线．则就是的平分线． 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上刻度，在和上分别截取，使． ②分别过M、N做的垂线，交于点P． ③作射线．则为的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： （1）老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　． （2）小聪的作法正确吗？请说明理由． 23. 如图,,,,.求的度数. 24. 在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 25. 我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： （1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． （2）“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 26. 如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN=5cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM、PN，判断△PMN形状，并说明理由； （3）若∠APB=α，求∠MPN（用含α的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$