3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

3．1.2　函数的单调性

第1课时　单调性的定义与证明

知识点一　函数单调性的判断与证明

1．函数f(x)的图象如图所示，则(　　)

A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数

B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数

C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数

D．函数f(x)在[2，4]上是增函数

答案：A

解析：由图象知，f(x)在[－1，2]上是增函数，在(2，4]上是减函数．故选A.

2．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上(　　)

A．单调递减 B．单调递增

C．先减后增 D．先增后减

答案：C

解析：因为y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．故选C.

3．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间依次是(　　)

A．(－∞，0]，(－∞，1]

B．(－∞，0]，[1，＋∞)

C．[0，＋∞)，(－∞，1]

D．[0，＋∞)，[1，＋∞)

答案：C

解析：函数f(x)＝|x|的单调递增区间是[0，＋∞)，g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．

4．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数．

证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋＝(x1－x2).

∵0＜x1＜x2，

∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数．

知识点二　函数的最值

5．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A．f(－2)，0 B．0，2

C．f(－2)，2 D．f(2)，2

答案：C

解析：由图象可知，函数f(x)的最小值是f(－2)，最大值是2.故选C.

6．函数f(x)＝(x≠－2)在区间[0，5]上的最大值与最小值的和为________．

答案：

解析：任取x1，x2∈[0，5]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝

，又x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，所以函数f(x)＝在区间[0，5]上单调递减，所以当x＝0时，函数f(x)取得最大值，当x＝5时，函数f(x)取得最小值.所以函数f(x)的最大值与最小值的和为＋＝.

知识点三　函数单调性的应用

7．已知函数f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围为________．

答案：

解析：由题意可知，解得0<a<，即a的取值范围是.

8．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

解：设1<x1<x2，则x1x2>1.

∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，

∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.

∵x1－x2<0，

∴1＋>0，即a>－x1x2.

∵x1x2>1，

∴－x1x2<－1，

∴a≥－1.

∴实数a的取值范围是[－1，＋∞)．

一、单选题

1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　)

A．y＝5－x B．y＝x2＋2