3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 3．1.2　函数的单调性 第1课时　单调性的定义与证明 知识点一　函数单调性的判断与证明 1．函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数 D．函数f(x)在[2，4]上是增函数 答案：A 解析：由图象知，f(x)在[－1，2]上是增函数，在(2，4]上是减函数．故选A. 2．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上(　　) A．单调递减 B．单调递增 C．先减后增 D．先增后减 答案：C 解析：因为y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．故选C. 3．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间依次是(　　) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 答案：C 解析：函数f(x)＝|x|的单调递增区间是[0，＋∞)，g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]． 4．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋＝(x1－x2). ∵0＜x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 知识点二　函数的最值 5．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 答案：C 解析：由图象可知，函数f(x)的最小值是f(－2)，最大值是2.故选C. 6．函数f(x)＝(x≠－2)在区间[0，5]上的最大值与最小值的和为________． 答案： 解析：任取x1，x2∈[0，5]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，又x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，所以函数f(x)＝在区间[0，5]上单调递减，所以当x＝0时，函数f(x)取得最大值，当x＝5时，函数f(x)取得最小值.所以函数f(x)的最大值与最小值的和为＋＝. 知识点三　函数单调性的应用 7．已知函数f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围为________． 答案： 解析：由题意可知，解得0<a<，即a的取值范围是. 8．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解：设1<x1<x2，则x1x2>1. ∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0. ∵x1－x2<0， ∴1＋>0，即a>－x1x2. ∵x1x2>1， ∴－x1x2<－1， ∴a≥－1. ∴实数a的取值范围是[－1，＋∞)． 一、单选题 1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝5－x B．y＝x2＋2 C．y＝ D．y＝－|x| 答案：B 解析：A，C，D中的函数在(0，2)上都是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数． 2．函数f(x)＝x－在[1，2]上的最大值为(　　) A．0 B． C．2 D．3 答案：B 解析：设1≤x1＜x2≤2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＝x1－－＝x1－x2＋<0，所以f(x)在[1，2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝. 3．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　) A．f＞f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1) C．f＜f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1) 答案：B 解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝＋≥＞0，∴f(a2－a＋1)≤f.故选B. 4．已知函数f(x)在R上是减函数，a，b∈R且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 答案：D 解析：∵f(x)是减函数，a＋b<0，∴a<－b，b<－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选D. 5．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ 答案：C 解析：要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足三个条件：①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；③g(1)≥h(1)．所以所以≤a＜. 二、多选题 6．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数f(x)在区间[－5，4]上单调递增 C．当x＝4时，函数f(x)取得最大值 D．当x＝5时，函数f(x)取得最小值 答案：AC 解析：由图象可知函数f(x)在区间[－5，－3]上单调递增，在区间[－3，1]上单调递减，在区间[1，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，当x＝－5时，函数f(x)取得最小值．故选AC. 7．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2 C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数 答案：AB 解析：当x≤1时，f(x)＝x＋2是增函数，则此时f(x)≤f(1)＝3，当x>1时，f(x)＝－x2＋3是减函数，则此时f(x)<－1＋3＝2.综上，f(x)的最大值为3，故A正确；f(0)＝0＋2＝2，故B正确；当x≤1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，此时x＝－3≤1，成立，故C错误；当x≤1时，f(x)＝x＋2是增函数，故D错误．故选AB. 三、填空题 8．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是________． 答案：(0，3) 解析：由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3)．∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3. 9．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________． 答案：－6 解析：作出函数f(x)＝|2x＋a|的图象，大致如图所示，根据图象可得函数的单调递增区间为，即－＝3，a＝－6. 10．二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________． 答案：[2，4] 解析：因为f(x)＝x2－2x＋3在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，则当0<m<2时，此时无解；当2≤m≤4时，当x＝2时有最小值1，当x＝0时有最大值3，此时条件成立；当m>4时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2，4]． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求函数f(x)在区间[2，4]上的最大值和最小值． 解：(1)函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证明如下： 任取－1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 因为－1<x1<x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，最大值为f(4)＝＝. 12．(2024·河北石家庄高一期中)已知函数f(x)＝，x∈[2，5]． (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求不等式f(m＋1)<f(2m－1)的解集． 解：(1)f(x)在[2，5]上单调递减．证明如下： 设2≤x1<x2≤5， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 因为2≤x1<x2≤5， 所以x2－x1>0，x2＋x1>0，(x＋1)(x＋1)>0， 因此f(x1)－f(x2)>0， 故f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在[2，5]上单调递减． (2)由(1)知，f(x)在[2，5]上单调递减， 所以由f(m＋1)<f(2m－1)得5≥m＋1>2m－1≥2，解得≤m<2， 故不等式f(m＋1)<f(2m－1)的解集为. 13．(2024·山东淄博高一期末)已知函数f(x)＝则满足f(a)>f的a的取值范围是________． 答案：∪(1，＋∞) 解析：当a<0时，f(a)＝0，－＋>0，f>0，原不等式显然不成立．当a＝0时，f(0)＝0，原不等式不成立．当a>0时，要使得f(a)>f，有两种情况：第一种情况，当－＋≥0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，可得a>－＋≥0，解得<a≤；第二种情况，当－＋<0时，则f(a)＝a2－a＝a(a－1)>0，解得a>1.综上，a的取值范围是∪(1，＋∞)． 14．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2. 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋ ＝. 因为1≤x1<x2， 所以x1x2>1， 所以2x1x2－1>0. 又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝. (2)依题意f(x)＝>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞)上恒成立． 记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)， 由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，知当x＝1时，y取得最小值3＋a. 所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立． 故实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$