2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 第2课时　均值不等式的应用 知识点一　利用均值不等式证明不等式 1．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b. 当且仅当a＝b＝c时上述等号均成立． 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时成立． ∴＋＋＞a＋b＋c. 2．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋＞9. 证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． ∵a，b，c是互不相等的正数，∴等号取不到． ∴＋＋>9. 知识点二　均值不等式的实际应用 3．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次应进货(　　) A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件 答案：D 解析：设进货n次，一年的运费和租金为y元，则每次的进货量为.根据题意得y＝100n＋≥2000，当且仅当n＝10时取等号，所以每次应进货1000件．故选D. 4．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，则x的取值范围为________；最少需要________米铁丝网(精确到1米)． 答案：[8，36]　34 解析：由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则其邻边长为米，则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.令y＝x＋2×≤44(x＞0)，解得8≤x≤36.则x的取值范围是[8，36]．由均值不等式，得y＝x＋≥24，当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立，则y最小值＝24≈34.即最少需要约34米铁丝网． 5．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，求贮水池的最低总造价． 解：设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，根据题意，有z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)． 由容积为4800 m3，可得3xy＝4800， 因此xy＝1600. 故z＝240000＋720(x＋y)≥240000＋720×2＝240000＋720×2＝297600，当且仅当x＝y＝40时，等号成立．所以将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元． 知识点三　均值不等式的综合问题 6．当x>1时，不等式x＋≥a＋1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|a≥3} D．{a|a≤3} 答案：A 解析：因为x>1，所以x－1>0，故x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以a＋1≤3，即a≤2.故选A. 7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x>0恒成立，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，2] 解析：因为不等式x2－ax＋1≥0对一切x>0恒成立，所以a≤x＋对一切x>0恒成立，因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以a≤2，即a的取值范围是(－∞，2]． 一、单选题 1．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则池塘水中药品的最大浓度为(　　) A．4 mg/L B．6 mg/L C．8 mg/L D．12 mg/L 答案：A 解析：C＝＝≤＝4，当且仅当t＝3时取等号，因此经过3 h后池水中药品的浓度达到最大，为4 mg/L.故选A. 2．若x>0，则使得关于x的不等式4x＋≥a恒成立的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥12 B．a≤12 C．a≥11 D．a≤11 答案：D 解析：若x>0，4x＋≥2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，所以若不等式恒成立，则a≤12.则使得关于x的不等式4x＋≥a恒成立的一个充分不必要条件需要是{a|a≤12}的真子集，结合选项，只有D正确． 3．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4<0的解集为，其中m<0，则＋的最小值为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．8 答案：C 解析：由题意可知，方程ax2＋2bx＋4＝0的两个根为m，，则m·＝，解得a＝1，故m＋＝－2b，m<0，所以2b＝－m－≥2＝4，当且仅当－m＝－，即m＝－2时取等号，则b≥2，所以＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即b＝4时取等号，故＋的最小值为2.故选C. 4．(2024·湖北孝感高一期中)某大型广场计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000 m2，绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示)．当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A．20 m B．50 m C．10 m D．100 m 答案：B 解析：设BC＝x m，则CD＝ m，所以S矩形A1B1C1D1＝(x＋10)＝1040＋4x＋≥1040＋2＝1440，当且仅当4x＝，即x＝50时，等号成立，所以当BC的长度为50 m时，整个项目A1B1C1D1占地面积最小．故选B. 5．(2024·河北沧州高一期中)已知存在两个正数x和y满足则实数a的取值范围是(　　) A．(1，25) B．(1，25] C．[1，25) D．[1，25] 答案：D 解析：a(26－a)＝＝13＋36xy＋≥13＋2＝25，当且仅当36xy＝时取等号，所以a2－26a＋25≤0，解得1≤a≤25. 二、多选题 6．(2024·河南商丘高一期中)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．3 D．5 答案：AD 解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立．因为不等式x＋<m2－3m有解，所以m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4.故选AD. 7．(2024·河南郑州高一期中)若不等式＋3≥x对任意正数a，b恒成立，则实数x的可能取值为(　　) A．2 B． C． D．1 答案：BD 解析：∵不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴x≤(a>0，b>0)恒成立．∵≥＝＋≥2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴x≤.故选BD. 三、填空题 8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的关系可近似表示为y＝x2－300x＋80000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为________吨． 答案：400 解析：设每吨的平均处理成本为s元，由题意可得s＝＝＋－300，其中300≤x≤600.所以＋－300≥2－300＝100，当且仅当＝，即x＝400时，每吨的平均处理成本最低． 9．已知对任意x>a，不等式2x＋≥7恒成立，则实数a的最小值为________． 答案： 解析：因为x>a，故x－a>0，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，当且仅当2(x－a)＝，即x＝a＋1时，等号成立，即有2a＋4≥7，所以a≥，即实数a的最小值为. 10．(2024·广西南宁高一期中)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝5，c＝3，则此三角形的面积S的最大值为________． 答案：3 解析：因为a＋b＝5，c＝3，所以p＝＝＝4，故S＝＝2＝2＝2，因为ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故S＝2≤2×＝3. 四、解答题 11．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋. 证明：因为x，y，z均为正数， 所以＋＝≥，当且仅当x＝2y时，等号成立， 同理可得＋≥，当且仅当2y＝3z时，等号成立， ＋≥，当且仅当x＝3z时，等号成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋，当且仅当x＝2y＝3z时，等号成立． 12．某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)设2024年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？ 解：(1)由题意，知当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，即k＝2，∴x＝3－. 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝28－－m(m≥0)． (2)y＝28－－m＝29－， ∵m≥0， ∴(m＋1)＋≥2＝8， 当且仅当＝m＋1，即m＝3时，等号成立， ∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，y取得最大值． ∴该厂家2024年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大． 13．设0<m<，若＋≥k恒成立，则k的取值范围为________． 答案：(－∞，6＋4] 解析：因为0<m<，所以＋＝＋＝2 ＝2≥2＝2(3＋2)＝6＋4.当且仅当＝，即m＝时，等号成立，所以k≤6＋4. 14．(2024·河北承德高一期末)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 证明：(1)a2＋b2＋c2≥； (2)＋＋≥1. 证明：(1)由a＋b＋c＝1， 得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1， 又2ab≤a2＋b2，2ac≤a2＋c2，2bc≤b2＋c2， 当且仅当a＝b＝c＝时，上述不等式等号均成立， 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2， 即3(a2＋b2＋c2)≥1， 所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． (2)因为a，b，c均为正数， 所以＋b≥2a，＋c≥2c，＋a≥2c， 当且仅当a＝b＝c＝时，上述不等式等号均成立， 则＋＋＋b＋c＋a≥2a＋2b＋2c， 即＋＋≥a＋b＋c＝1， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以＋＋≥1. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$