2.2.4 第1课时 均值不等式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 2．2．4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 知识点一　对均值不等式的理解 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 答案：D 解析：若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则＜，故C错误；由均值不等式可知D正确． 2．不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 答案：C 解析：因为a>0，根据均值不等式≥，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2中等号成立的条件是当且仅当a＝1. 3．[多选]下列结论正确的是(　　) A．若a＞0，则a2＋1＞a B．若a＞0，b＞0，则≥4 C．若a＞0，b＞0，则(a＋b)≥4 D．若a∈R且a≠0，则＋a≥6 答案：ABC 解析：因为a>0，所以a2＋1≥2＝2a>a，故A正确；因为a＞0，所以＋a≥2，当且仅当a＝1时等号成立，因为b＞0，所以b＋≥2，当且仅当b＝1时等号成立，所以当a＞0，b＞0时，≥4，故B正确；(a＋b)＝2＋＋，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立，所以(a＋b)≥4，故C正确；因为a∈R且a≠0不符合均值不等式的适用条件，故D错误． 知识点二　利用均值不等式求最值 4．已知x>0，y>0，xy＝9，则x＋3y的最小值为(　　) A．8 B．6 C．8 D．6 答案：D 解析：x＋3y≥2＝6，当且仅当x＝3y＝3时，等号成立，据此可得x＋3y的最小值为6.故选D. 5．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时，等号成立． 6．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 答案：A 解析：x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝12，y＝3时，等号成立． 7．已知y＝，则y的最大值为(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴y＝.当t＝0时，y＝0；当t＞0时，y＝＝.∵t＋≥2(当且仅当t＝1时等号成立)，∴0＜≤.∴y的最大值为. 8．(1)已知t>0，求y＝的最小值； (2)已知x>3，求y＝x＋的最小值． 解：(1)依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2， 当且仅当t＝，即t＝1时，y取到最小值－2. (2)∵x>3，∴x－3>0，>0，于是y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7， 当且仅当x－3＝，即x＝5时，y取到最小值7. 9．已知a2＋4b2＝2. (1)若a与b均为正数，求ab的最大值； (2)若a与b均为负数，求＋的最小值． 解：(1)因为a2＋4b2＝2，a>0，b>0， 则2＝a2＋4b2≥2＝4ab，即ab≤， 当且仅当a2＝4b2，即a＝2b＝1时取等号， 所以当a＝1，b＝时，ab取得最大值. (2)由a与b均为负数，得a2>0，b2>0， 因此＋＝(a2＋4b2)＝≥＝， 当且仅当＝， 即a2＝b2＝，a＝b＝－时取等号， 所以当a＝b＝－时，＋取得最小值. 一、单选题 1.(－6<a<3)的最大值为(　　) A．9 B． C．3 D． 答案：B 解析：∵－6<a<3，∴3－a>0，a＋6>0，∴≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．故选B. 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案：B 解析：(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y且x＋y＝8，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B. 3．函数y＝3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 答案：D 解析：y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立．故选D. 4．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 答案：D 解析：∵0＜a＜1，0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又0＜a＜1，0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大．故选D. 5．(2024·山东青岛高一期中)已知x>0，y>0，且a＋b＝x＋y，cd＝xy，则的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：D 解析：因为x>0，y>0，所以＝＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝y时取等号．故选D. 二、多选题 6．设a，b为非零实数，下列不等式恒成立的是(　　) A．≥ab B．≥ C．≥ D．＋≥2 答案：AB 解析：由a2＋b2≥2ab，可知A正确；＝＝≥＝＝，可知B正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知C不正确；当a＝1，b＝－1时，显然D不正确．故选AB. 7．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋有最小值4 B．有最小值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 答案：ACD 解析：＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，故A正确；由a>0，b>0及均值不等式，得1＝a＋b≥2，∴≤，故B错误；∵(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2×＝2，∴＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D正确． 三、填空题 8．当x＜时，y＝4x－2＋的最大值为________． 答案：1 解析：∵x＜，∴4x－5＜0，∴y＝4x－5＋＋3＝－＋3≤ －2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 9．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________． 答案：3 解析：(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等号成立，所以＋≤3，所以＋的最大值为3. 10.(a∈R)的最小值是________，此时a＝________． 答案：2　0 解析：显然>0，则＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝0时，等号成立．所以的最小值是2，此时a＝0. 四、解答题 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0. 求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)xy＝2x＋8y≥2，当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴≥8， ∴xy≥64， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝10＋8＝18，当且仅当＝， 即x＝12，y＝6时，等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 12．(1)已知a，b，c为正实数，求y＝的最大值； (2)已知实数a，b满足ab>0，求y＝－的最大值． 解：(1)因为a，b，c为正实数， 所以a2＋b2≥2×ab，b2＋c2≥2×bc， 所以y＝＝≤＝， 当且仅当a＝c＝b时，等号成立． 所以y＝的最大值为. (2)因为ab>0，则y＝－ ＝＝≤ ＝2－， 当且仅当＝时，等号成立， 所以y＝－的最大值为2－. 13．(2024·四川雅安高一期末)已知正实数a，b，且a＋2b＝2，则＋的最小值是________． 答案： 解析：因为正实数a，b，a＋2b＝2，故(a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以＝[(a＋1)＋(2b＋1)]×＝，故＋＝＋＝＋×＋≥＋2×＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值是. 14．已知a，b为正数，且满足2a＋b＝6. (1)求的最大值； (2)求(1＋a2)(4＋b2)的最大值． 解：(1)由a>0，b>0， 可得＝＝， 又由2a＋b＝6可得 ＋＝(2a＋b)＝≥＝， 当且仅当＝，即a＝b＝2时，等号成立， 所以≤＝2，即的最大值为2. (2)(1＋a2)(4＋b2)＝4＋4a2＋b2＋a2b2＝4a2＋b2＋4ab－4ab＋a2b2＋4＝(2a＋b)2＋(ab－2)2＝36＋(ab－2)2， 又0<ab＝·2a·b≤＝，当且仅当a＝，b＝3时取等号， 则36＋(ab－2)2≤36＋＝， 所以当a＝，b＝3时，(1＋a2)(4＋b2)取得最大值，为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$