2.2.3 一元二次不等式的解法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 2．2.3　一元二次不等式的解法 知识点一　不含参数的一元二次不等式的解法 1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　) A． B． C．∅ D．R 答案：D 解析：由3x2－2x＋1>0，得x2－x＋>0，所以>－，显然成立，所以原不等式的解集为R. 2．一元二次不等式－x2＋5x－4>0的解集为(　　) A．{x|x<1或x>4} B．{x|1<x<4} C． D． 答案：B 解析：原不等式等价于x2－5x＋4<0，即(x－4)(x－1)<0，所以原不等式的解集为{x|1<x<4}． 3．不等式2x2＋7x＋3>0的解集为________． 答案： 解析：原不等式可化为(2x＋1)(x＋3)>0，所以原不等式的解集为. 4．解下列不等式： (1)2x＋2<x2＋x≤12； (2)x2－3|x|＋2＞0. 解：(1)原不等式等价于 即即 所以 所以－4≤x<－1或2<x≤3， 所以原不等式的解集为{x|－4≤x<－1或2<x≤3}． (2)解法一：原不等式等价于 或 分别解这两个不等式组，得0≤x<1或x>2，－1<x<0或x<－2，故原不等式的解集为{x|x<－2或－1<x<1或x>2}． 解法二：原不等式可化为|x|2－3|x|＋2>0， 即(|x|－1)(|x|－2)>0， 所以0≤|x|<1或|x|>2， 即－1<x<1或x>2或x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2或－1<x<1或x>2}． 知识点二　含参数的一元二次不等式的解法 5．若0<t<1，则不等式x2－x＋1<0的解集是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：原不等式可化为(x－t)<0，∵0<t<1，∴>1>t，∴t<x<. 6．解关于x的不等式21x2＋4ax－a2＜0. 解：原不等式等价于＜0. ①当a＞0时，＞－， 原不等式的解集为； ②当a＜0时，＜－， 原不等式的解集为； ③当a＝0时，原不等式的解集为∅. 知识点三　分式不等式的解法 7．不等式<0的解集为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<－2} C．{x|－2<x<1} D．{x|x>1或x<－2} 答案：C 解析：原不等式等价于(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1. 8．不等式>3的解集为________． 答案： 解析：由>3，可得>0，此不等式等价于(2x－1)(6x－7)<0，解得<x<. 一、单选题 1．不等式4x2－12x＋9≤0的解集是(　　) A．∅ B．R C． D． 答案：D 解析：原不等式可化为(2x－3)2≤0，故x＝.故选D. 2．不等式<2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} 答案：A 解析：因为x2＋x＋1＝＋>0，所以原不等式可化为x2－2x－2<2(x2＋x＋1)，化简得x2＋4x＋4>0，即(x＋2)2>0，所以原不等式的解集为{x|x≠－2}． 3．若集合A＝{x|x2＋2x>0}，B＝{x|x2＋2x－3<0}，则A∩B＝(　　) A．{x|－3<x<1} B．{x|－3<x<－2} C．R D．{x|－3<x<－2或0<x<1} 答案：D 解析：A＝{x|x2＋2x>0}＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|x2＋2x－3<0}＝{x|－3<x<1}，∴A∩B＝{x|－3<x<－2或0<x<1}．故选D. 4．对任意a∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) C．(1，2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案：B 解析：x2＋(a－4)x＋4－2a>0，即(x－2)a＋(x2－4x＋4)＞0，将y＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)看成关于a的一次函数，∵a∈[－1，1]，∴∴x<1或x>3. 5．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，4) B．(－2，－1)∪(3，4) C．(3，4] D．[－2，－1)∪(3，4] 答案：D 解析：由题意，得原不等式可转化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，解得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1；当a＝1时，不符合题意．故实数a的取值范围是[－2，－1)∪(3，4]．故选D. 二、多选题 6．下列式子中，使2x2－x－3<0的充分条件可以是(　　) A．x<1 B．0<x<1 C．－1<x<2 D．－1<x<0 答案：BD 解析：由2x2－x－3<0，得－1<x<，又(0，1)⊆，(－1，0)⊆，故选BD. 7．[x]表示不超过x的最大整数，则满足不等式[x]2－5[x]－14≤0的x的值可以为(　　) A．－2.5 B．3 C．7.5 D．8 答案：BC 解析：因为[x]2－5[x]－14＝([x]－7)([x]＋2)≤0，所以－2≤[x]≤7，所以－2≤x<8.所以x的值可以为[－2，8)内的任何实数．故选BC. 三、填空题 8．不等式x2－|x|－2＜0的解集是________． 答案：{x|－2＜x＜2} 解析：令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2＜0，即(t－2)(t＋1)＜0.∵t＝|x|≥0，∴t－2＜0，∴t＜2，∴|x|＜2，解得－2＜x＜2. 9．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0的解集为R，则m的取值范围为________． 答案： 解析：①若m2－2m－3＝0，即m＝3或－1，当m＝3时，原式化为－1<0，显然成立，当m＝－1时，原式不恒成立，故m＝3；②若m2－2m－3≠0，则解得－<m<3.综上，m的取值范围为. 10．(2024·广西南宁高一期末)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2－mx≤0}，若A∩B＝{x|1≤x≤4}，则m的值为________． 答案：4 解析：当m＝0时，B＝{x|x2≤0}＝{0}，显然A∩B＝∅，不符合题意；当m>0时，B＝{x|x2－mx≤0}＝[0，m]，因为A∩B＝{x|1≤x≤4}，所以必有m＝4；当m<0时，B＝{x|x2－mx≤0}＝[m，0]，显然A∩B＝∅，不符合题意．综上所述，m＝4. 四、解答题 11．解下列关于x的不等式． (1)3x2－5x－2<0； (2)－x2＋6x－10>0； (3)≤2； (4)x2＋x－a(a－1)>0. 解：(1)原不等式可化为(3x＋1)(x－2)<0， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以原不等式可化为(x－3)2<－1， 因为(x－3)2≥0恒成立，所以原不等式的解集为∅. (3)由题意知x－2≠0，因此(x－2)2>0， 原不等式两边同时乘以(x－2)2，可得(x＋1)·(x－2)≤2(x－2)2且x－2≠0， 即(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0， 所以原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． (4)因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0， 所以(x＋a)(x＋1－a)>0， 当－a>a－1，即a<时，x<a－1或x>－a， 当a－1>－a，即a>时，x<－a或x>a－1， 当a－1＝－a，即a＝时，x≠－， 所以当a<时，原不等式的解集为{x|x<a－1或x>－a}； 当a>时，原不等式的解集为{x|x<－a或x>a－1}； 当a＝时，原不等式的解集为. 12．若当0≤x≤2时，不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2恒成立，试求t的取值范围． 解：令y＝x2－3x＋2，0≤x≤2. 则y＝x2－3x＋2＝－， 所以函数在[0，2]上的最小值为－，最大值为2. 若(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2在x∈[0，2]上恒成立， 则即 所以或 所以t的取值范围为{t|－1≤t≤1－}． 13．若关于x的不等式组 的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________． 答案：[－3，2) 解析：由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，又由2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可得，(2x＋5)(x＋k)＜0，如图所示，由已知条件可得 解得－3≤k＜2. 14．解不等式＞1(a∈R)． 解：移项、通分得＞0⇒[(a－1)x－(a－2)](x－2)＞0.① 当a＝1时，①式可以转化为x＞2； 当a＞1时，①式可以转化为(x－2)＞0； 当a＜1时，①式可以转化为(x－2)＜0. 又当a≠1时，2－＝， 所以当a＞1或a＜0时，2＞； 当a＝0时，2＝； 当0＜a＜1时，2＜. 故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集是∪(2，＋∞)；当0＜a＜1时，原不等式的解集是；当a＝0时，原不等式的解集是∅；当a＜0时，原不等式的解集是. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$