2.2.2 不等式的解集+2.2.3一元二次不等式的解法（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦不等式的解集与一元二次不等式的解法，从不等式（组）解集的概念出发，衔接绝对值不等式的几何意义、数轴上的距离公式，再到一元二次不等式的因式分解、配方法及与二次函数图像的关系，构建递进式学习支架。 资料以课标要点为纲，融合直观想象与数学运算素养，设计8类题型及解题贴士，通过“想一想”引导数学抽象，随学随练及时巩固。课中助力教师分层教学，课后通过基础与素养练习帮助学生查漏补缺，提升解决含参、分式不等式等复杂问题的能力。

第二章 等式与不等式 2.2.2 不等式的解集+2.2.3一元二次不等式的解法 课标要点 1.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解（直观想象、数学运算）. 2.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式（数学运算）. 3.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系（数学抽象、数学运算）. 学习重难点 重点： 1.掌握不等式解集数轴表示，区分实心空心； 借2.助二次函数图像解一元二次不等式，结合判别式分类，由开口与根确定解集区间。 难点： 1.数轴边界虚实、方向易出错； 2.结合二次函数图像解一元二次不等式，判别式分类讨论繁琐，含参数时区间范围难判断。 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1.不等式的解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 【想一想】 1.不等式ax＋b＞0的解集是吗？ 2.不等式的解集是否一定为无限集？ 随学随练 1.（25-26高一上·海南·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 知识点二　绝对值不等式 1.绝对值的定义 数轴上表示数a的点与　原点　的距离称为数a的绝对值，记作｜a｜.而且一个正数的绝对值是　它本身　，一个负数的绝对值是　它的相反数　，0的绝对值是　0　. 2.绝对值不等式 一般地，含有　绝对值　的不等式称为绝对值不等式. 3.绝对值不等式的解集 当m＞0时，关于x的不等式｜x｜＞m的解集为　（－∞，－m）∪（m，＋∞）　；关于x的不等式｜x｜≤m的解集为　[－m，m]　. 提醒：｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：只需将ax＋b看成一个整体，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集；②｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集. 随学随练 1.（25-26高三上·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 2．（25-26高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 知识点三　数轴上的坐标与距离 1.两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝　｜a－b｜　，这就是数轴上两点之间的距离公式. 2.中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝　　就是数轴上的中点坐标公式. 【想一想】 不等式｜x＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？ 随学随练 已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 知识点四　一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如　ax2＋bx＋c＞0　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 　　提醒：判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0. 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是　（x1，x2）　，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是　（－∞，x1）∪（x2，＋∞）　. 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为　（x－h）2＞k　或　（x－h）2＜k　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【想一想】 　mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？ 随学随练 1.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1} B. C. D. 2.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为（　D　） A.14　 B.－10 C.10　 D.－14 题型一 不等式组的解法 解题贴士：不等式组的求解步骤 （1）求出不等式组中每个不等式的解集； （2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）； （3）写出不等式组的解集. 【例1】不等式组的解集为{x｜x＞a}，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≤2}　 B.{a｜a＜2} C.{a｜a≥2}　 D.{a｜a＞2} 【变式1】在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　 ） A.4　 B.5 C.6　 D.7 【变式2】解下列不等组. 【变式3】解下列不等式组： （1） （2） 题型二 ｜ax＋b｜≤c与｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 解题贴士：｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 【例2】（25-26高一上·北京延庆·期中）下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东茂名·二模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）不等式的解集是（   ）. A． B． C． D．或 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三 ｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式的解法 解题贴士：　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点： （1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏； （2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”； （3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间. 【例3】对任意实数，的最小值为 ． 【变式1】（25-26高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若对任意，，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 题型四 数轴上的距离问题 解题贴士：1.当P（x）中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P（x）中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x. 2.由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方. 【例4】已知数轴上三点P（－8），Q（m），R（2）. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； （2）若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围. 【变式】已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 题型五 不含参数的一元二次不等式的解法 解题贴士：解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. 【例1】（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【变式2】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【变式3】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 题型六 含参数的一元二次不等式的解法 解题贴士：含参一元二次不等式的解法 【例1】（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）. 题型七 两个“二次”间的关系 解题贴士：一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解. 【例7】（25-26高一下·山西大同·期末）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【变式1】（25-26高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【变式3】（陕西省宝鸡中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八 分式不等式的解法 解题贴士：分式不等式的解法 （1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 【例8】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·内蒙古·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山西·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C．或} D．或} 【变式3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 4．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（    ）． A． B． C．或 D． 6．（25-26高一上·湖南湘潭·期末）“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 7．（25-26高二下·北京·阶段检测）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 10．（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 12．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 13．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 14．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）解关于的不等式，其中； （2）解不等式. 15．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 素养提升 16．（25-26高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三·全国·一轮复习）为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 18．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 19．（25-26高一上·上海虹口·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________． 20.（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知关于的不等式的解集为． (1)若，，求； (2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集． 迁移创新 21．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 22．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式 2.2.2 不等式的解集+2.2.3一元二次不等式的解法 课标要点 1.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解（直观想象、数学运算）. 2.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式（数学运算）. 3.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系（数学抽象、数学运算）. 学习重难点 重点： 1.掌握不等式解集数轴表示，区分实心空心； 借2.助二次函数图像解一元二次不等式，结合判别式分类，由开口与根确定解集区间。 难点： 1.数轴边界虚实、方向易出错； 2.结合二次函数图像解一元二次不等式，判别式分类讨论繁琐，含参数时区间范围难判断。 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1.不等式的解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 【想一想】 1.不等式ax＋b＞0的解集是吗？ 【提示】不一定.当a＞0时，不等式ax＋b＞0的解集为；当a＜0时，不等式ax＋b＞0的解集为. 2.不等式的解集是否一定为无限集？ 【提示】不一定.如不等式｜x｜＜0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是{0}，为有限集. 随学随练 1.（25-26高一上·海南·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，.所以不等式的解集为.故选：A 知识点二　绝对值不等式 1.绝对值的定义 数轴上表示数a的点与　原点　的距离称为数a的绝对值，记作｜a｜.而且一个正数的绝对值是　它本身　，一个负数的绝对值是　它的相反数　，0的绝对值是　0　. 2.绝对值不等式 一般地，含有　绝对值　的不等式称为绝对值不等式. 3.绝对值不等式的解集 当m＞0时，关于x的不等式｜x｜＞m的解集为　（－∞，－m）∪（m，＋∞）　；关于x的不等式｜x｜≤m的解集为　[－m，m]　. 提醒：｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：只需将ax＋b看成一个整体，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集；②｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集. 随学随练 1.（25-26高三上·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得，解得，所以不等式的解集为. 2．（25-26高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 【解】当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为即．恒成立； 当时，原不等式可以化为．解得． 综上，原不等式的解集为． 知识点三　数轴上的坐标与距离 1.两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝　｜a－b｜　，这就是数轴上两点之间的距离公式. 2.中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝　　就是数轴上的中点坐标公式. 【想一想】 不等式｜x＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？ 【提示】数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合. 随学随练 已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【答案】， 【解析】， ，的中点的坐标为，即． 知识点四　一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如　ax2＋bx＋c＞0　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 　　提醒：判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0. 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是　（x1，x2）　，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是　（－∞，x1）∪（x2，＋∞）　. 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为　（x－h）2＞k　或　（x－h）2＜k　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【想一想】 　mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？ 【提示】不一定.当m≠0时，mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式. 随学随练 1.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1} B. C. D. 【答案】D 【解析】因为－2x2＋x＋3＝－（2x2－x－3）＝－（x＋1）（2x－3）， 所以－（x＋1）（2x－3）＜0，即（x＋1）（2x－3）＞0， 所以x＞或x＜－1，所以不等式的解集为. 2.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为（　D　） A.14　 B.－10 C.10　 D.－14 【答案】D 【解析】由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0. 所以解得所以a＋b＝－14. 题型一 不等式组的解法 解题贴士：不等式组的求解步骤 （1）求出不等式组中每个不等式的解集； （2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）； （3）写出不等式组的解集. 【例1】不等式组的解集为{x｜x＞a}，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≤2}　 B.{a｜a＜2} C.{a｜a≥2}　 D.{a｜a＞2} 【答案】C　 【解析】由得因为不等式组的解集为{x｜x＞a}，所以a≥2，即a的取值范围是{a｜a≥2}.故选C. 【变式1】在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　 ） A.4　 B.5 C.6　 D.7 【答案】C　 【解析】解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个.故选C. 【变式2】解下列不等组. 【解】解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图． 由图可知，不等式组的解集为． 【变式3】解下列不等式组： （1） （2） 【解】（1）解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. （2）解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 题型二 ｜ax＋b｜≤c与｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 解题贴士：｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 【例2】（25-26高一上·北京延庆·期中）下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等价于或者，解得或者，故选：D 【变式1】（2026·广东茂名·二模）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，可得，故解集为． 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）不等式的解集是（   ）. A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由可得，解得.故选：B. 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故，故，故，故选：D. 题型三 ｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式的解法 解题贴士：　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点： （1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏； （2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”； （3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间. 【例3】对任意实数，的最小值为 ． 【答案】4 【解析】方法1：由绝对值三角不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值4． 方法2：设， 当时，； 当时，； 当时，. 综上，可得的最小值为4. 【变式1】（25-26高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，则，可得，此时，； 当时，则恒成立，此时，； 当时，则，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集为， 则满足原不等式的最小整数解为， 故选：C. 【变式2】已知，若对任意，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则取，此时，与已知矛盾， 故，当时，有，满足题意， 综上所述，满足题意的的取值范围是. 【变式3】（25-26高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 【解】考虑临界点和1把数轴分为三个区间：，，． ①当时，原不等式变形为， 化简得，解得； ②当时，原不等式变形为，无解； ③当时，原不等式变形为，解得． 综上，原不等式的解集为． 题型四 数轴上的距离问题 解题贴士：1.当P（x）中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P（x）中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x. 2.由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方. 【例4】已知数轴上三点P（－8），Q（m），R（2）. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； （2）若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围. 【解】（1）若P是线段QR的中点，则－8＝，∴m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝，∴m＝12. （2）由题意，知＞1，即＞1， ∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0， ∴实数m的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 【变式】已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【解】（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴． （2）∵的中点对应的数为， ∴由题意得，即， 解得，∴的取值范围是． 题型五 不含参数的一元二次不等式的解法 解题贴士：解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. 【例1】（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 【变式1】（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 【变式2】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 【变式3】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【解】（1）由，得， 解得：或，故不等式的解集为：； （2），即，即，解得.则其解集为. 题型六 含参数的一元二次不等式的解法 解题贴士：含参一元二次不等式的解法 【例1】（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 【变式1】（25-26高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得， 所以的解集为.故选：A. 【变式2】（25-26高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或，故选C． 【变式3】解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）. 【解】①当a＜0时，原不等式化为（x－1）＞0，解得x＜或x＞1. ②当a＞0时，原不等式化为（x－1）＜0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1； 若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜，或x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. 题型七 两个“二次”间的关系 解题贴士：一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解. 【例7】（25-26高一下·山西大同·期末）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【解析】因为，是方程的两个根，所以， 解得，所以.故选：A. 【变式1】（25-26高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又，所以，解得或. 所以不等式的解集为.故选：B. 【变式2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【解析】由题设且， 所以，所以不等式的解集为，故选B 【变式3】（陕西省宝鸡中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的解集为， 所以且，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故选A. 题型八 分式不等式的解法 解题贴士：分式不等式的解法 （1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 【例8】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式 ，即，即，则， 解得，故原不等式的解集为；故答案为： 【变式1】（25-26高二下·内蒙古·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即， 即，即，解得：， 所以不等式的解集为：，故选：A. 【变式2】（25-26高一上·山西·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C．或} D．或} 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为．故选：B． 【变式3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：由，得，化简得，即， 等价于，解得.所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 基础通关 1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式等价于. 解得或，即原不等式的解集为. 2．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】反比例函数（）图象在第一、三象限，令，． 所以不等式的解集是．故选：D． 3．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】由，可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0.故选：C. 4．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由可得，解得，故原不等式的解集为.故选：A. 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由关于x的不等式的解集为或， 可知，且-2和1是方程的两根， 故由根与系数的关系得，即得， 又，故不等式为， 即，解得，故选：B 6．（25-26高一上·湖南湘潭·期末）“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】若关于的不等式有解，则，得． 由“”可以推出“”，由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件． 故选：D. 7．（25-26高二下·北京·阶段检测）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 8．（25-26高二下·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 9．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 10．（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 12．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【解析】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 13．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【解析】甲写错了，但是正确的，由的解为， 则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为， 则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 14．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）解关于的不等式，其中； （2）解不等式. 【解】（1）， ，所以原不等式的解集为. （2）， 或， 即或， 从而原不等式的解集为. 15．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 【解】（1）若，， 方程的根为， 所以，解得或， 故或； （2）因为不等式的解集， 所以的一个解为， 所以，解得， 此时的解集为，满足题意. 不等式即， 等价于，解得， 故不等式的解集为． 素养提升 16．（25-26高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得，综上可得，. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 【答案】A 【解析】当甲大棚的投入资金为时，乙大棚的投入资金为， 所以， 由，可得，令，则， 得到， 因为，所以当， 即时，最大，最大值为282，故A正确. 18．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【答案】ABD 【解析】因为二次函数， 所以方程， 所以，故A正确； 方程的两根为，且， 所以一元二次不等式的解集为，故B正确； 若且，则，故C错误； 二次函数对称轴为，开口向上， 所以当时，函数的图像在上单调递减， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为，故此情况无解， 综上，的值为或4，故D正确； 故选：ABD 19．（25-26高一上·上海虹口·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以不等式在上恒成立，即小于等于的最小值. 令，当时，， 此时为增函数，所以，此时； 当时，， 此时为减函数，所以，此时； 当时，，此时； 综上的最小值为4，所以要满足题意，那么. 故实数的取值范围为. 20.（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知关于的不等式的解集为． (1)若，，求； (2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集． 【解】（1）若，，则，解得 故； （2）由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的一次项系数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 故该不等式正确的解集为. 迁移创新 21．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则， 解得或，，所以的值为，或，. （2）当时，， 因为关于的不等式在上恒成立，所以， 解得. 22．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立，此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $