2.2.1 不等式及其性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 2．2．1　不等式及其性质 知识点一　用不等式表示不等关系 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是(　　) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 答案：D 解析：据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.故选D. 知识点二　不等式的性质 2．下列命题中一定正确的是(　　) A．若a>b，且＞，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b，且ac>bd，则c>d 答案：A 解析：对于A，∵>，∴>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正确；对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错误；对于C，当a＝10，b＝2，c＝1，d＝3时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C错误；对于D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错误．故选A. 3．[多选]对于实数a，b，c，下列命题中的假命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则< C．若a>0>b，则> D．若a>|b|，则a2>b2 答案：AC 解析：当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；当a>b>0时，<，故B为真命题；a>0>b⇒a－b>a>0⇒>>0，故C为假命题；若a>|b|≥0，则a2>b2，故D为真命题． 知识点三　比较大小 4．已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定 答案：B 解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．∵a，b∈(0，1)，∴a－1<0，b－1<0，∴(a－1)(b－1)>0，∴M－N>0，∴M>N. 5．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 答案：C 解析：用作商法比较，由题意知x，y>0，∵＝＝<1，∴x<y. 知识点四　用不等式的性质证明不等式 6．已知a>b>0，c<d<0，求证：<. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0， ∴0<－<－. 又a>b>0，∴－>－>0，∴>， 即－>－，两边同时乘以－1， 得<. 7．证明：－<－. 证明：证法一(分析法)：要证－<－， 只需证＋<＋， 只需证(＋)2<(＋)2， 展开得9＋2<9＋2，只需证<， 即证14<18，显然成立，所以－<－. 证法二(反证法)：假设－≥－， 则＋≥＋， 两边平方得9＋2≥9＋2， 所以≥， 即14≥18，显然不成立，所以假设错误． 所以－<－. 证法三：因为－＝， －＝， 又因为＋>＋>0， 所以<， 所以<，即－<－. 知识点五　应用不等式的性质求取值范围 8．已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，则3x＋2y的取值范围是(　　) A．[1，18] B． C．(1，18) D． 答案：D 解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，则所以所以3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)．因为－1<x＋y<4，2<x－y<3，所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，所以－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，所以3x＋2y的取值范围为. 9．已知12＜a＜60，15＜b＜36，则的取值范围为________． 答案： 解析：∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4. 一、单选题 1．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是(　　) A．a－c>b－c B．a＋c<b＋c C．ac>bc D．< 答案：B 解析：由数轴可以看出a<b<0<c，对于A，∵a<b，∴a－c<b－c，故A错误；对于B，∵a<b，∴a＋c<b＋c，故B正确；对于C，∵a<b，c>0，∴ac<bc，故C错误；对于D，∵b<0，∴<0，又a<c，∴>，故D错误．故选B. 2．若<，则(　　) A．a>b>0 B．b<a<0 C．a<0<b D．ab2<a2b 答案：D 解析：解法一：A，B，C三个选项分别表示了a与b的大小关系，都有可能．故只能选D. 解法二：若<，则－＝<0，则ab(b－a)<0，即ab2－a2b<0，即ab2<a2b.故选D. 3．已知a<1，记M＝a3－1，N＝2a2－2a，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 答案：A 解析：(a3－1)－(2a2－2a)＝(a－1)(a2＋a＋1)－2a(a－1)＝(a－1)(a2－a＋1)＝(a－1)·.∵a<1，∴a－1<0.又＋>0，∴(a－1)<0，即a3－1<2a2－2a，即M<N. 4．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　　) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| 答案：C 解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0.由可得xy＞xz.故选C. 5．已知1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2，则10a－5b的取值范围是(　　) A．[－1，20] B．(－1，20) C．[1，22] D．(1，22) 答案：A 解析：令10a－5b＝x(2a＋b)＋y(a－2b)＝(2x＋y)a＋(x－2y)b，则解得 ∴10a－5b＝3(2a＋b)＋4(a－2b)．∵1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2，∴3≤3(2a＋b)≤12，－4≤4(a－2b)≤8，∴－1≤3(2a＋b)＋4(a－2b)≤20，即－1≤10a－5b≤20，故10a－5b的取值范围为[－1，20]． 二、多选题 6．若正实数x，y满足x>y，则下列结论中正确的是(　　) A．xy<y2 B．x2>y2 C．<(m>0) D．< 答案：BCD 解析：对于A，由于x，y为正实数，且x>y，两边乘以y得xy>y2，故A错误；对于B，由于x，y为正实数，且x>y，所以x2>y2，故B正确；对于C，由于x，y为正实数，且x>y，所以－＝＝，又x>y，m>0，所以>0，所以<，故C正确；对于D，由于x，y为正实数，且x>y，所以x>x－y>0，所以0<<，故D正确．故选BCD. 7．下列说法正确的是(　　) A．a>b，c>d⇒a－d>b－c B．a>b，c<d，cd≠0⇒< C．|a|>b>0⇒an>bn(n∈N＋且n>1) D.>⇒a>b 答案：AD 解析：对于A，由c>d，得－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故A正确；对于B，令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，则＝，故B错误；对于C，|a|>b>0⇒|a|n>bn，但|a|n与an可能相等，也可能互为相反数，故C错误；对于D，>⇒a>b，故D正确． 三、填空题 8．已知3<a＋b<4，0<b<1，则a的取值范围是________，的取值范围是________． 答案：(2，4)　(2，＋∞) 解析：∵3<a＋b<4，又0<b<1，∴－1<－b<0，∴2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4.∵0<b<1，∴>1，又2<a<4，∴>2. 9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花多于9天的时间，用不等式表示为________． 答案：8(x＋19)＞2200(x>0)　＞9(x>12) 解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km，若每天比原来多行驶19 km，8天内它的行程将超过2200 km，则8(x＋19)＞2200(x>0)．若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用多于9天的时间，即＞9(x>12)． 10．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________． 答案：＋≥＋ 解析：＋－＝.∵a2b2＞0，∴只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．a3＋b3－ab2－a2b＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，当a＝b时等号成立，∴＋≥＋. 四、解答题 11．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围． 解：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y， ∴解得 ∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)． ∵－1≤4x－y≤5， ∴－2≤2(4x－y)≤10， 又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9. 12．已知a>0，b>0，试比较与的大小． 解：－＝. 当a>b>0时，a－b>0， 所以－>0，即>； 当0<a<b时，a－b<0， 所以－<0，即<； 当0<a＝b时，a－b＝0， 所以－＝0，即＝. 13．设a＞b＞0，若x＝，y＝，则x，y的大小关系是________(用“＜”号连接)． 答案：x＜y 解析：因为a＞b＞0，所以＞，a－b＞0，所以x＞0，y＞0，x2＝，y2＝，x2－y2＝＝＝－＋b＝－＋()2＝＝·.因为a＞b＞0，所以·＜0，所以x2－y2＜0，所以x＜y. 14．(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤； (2)已知a，b，m均为正数，且a＜b，求证：＞. 证明：(1)证法一：因为bc－ad≥0， 所以bc≥ad. 因为bd＞0，所以≥，即≥， 所以＋1≥＋1， 即≤. 证法二(作差比较)： －＝＝， 因为bc－ad≥0，所以ad－bc≤0， 又bd＞0， 所以≤0，所以≤. (2)因为a，b，m均为正数，要证>， 只需证b(a＋m)>a(b＋m)， 展开得ab＋bm>ab＋am， 即证bm>am，只需证b>a. 因为b>a成立，所以>成立． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$