2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

知识点一　一元二次方程的解集

1．方程2x2－4x－3＝0配方后的方程是(　　)

A．(x＋2)2＝ B．(x－1)2＝

C．(x－2)2＝ D．(x＋1)2＝

答案：B

解析：化二次项系数为1，得x2－2x－＝0，配方得(x－1)2＝.故选B.

2．已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，则另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0的解集是(　　)

A．{1，3} B．{1，－3}

C．{－1，3} D．{－1，－3}

答案：D

解析：由已知可得2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x＝－1或x＝－3，即所求方程的解集为{－1，－3}．故选D.

3．求下列方程的解集：

(1)2x2－4x－1＝0；

(2)x4－3x2＋2＝0；

(3)x＋2－1＝0；

(4)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.

解：(1)解法一：因为a＝2，b＝－4，c＝－1，

所以Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24>0，

所以x＝＝＝，

所以x＝或x＝，

所以原方程的解集为.

解法二：配方可得(x－1)2＝，

则x－1＝或x－1＝－，

所以x＝或x＝，

所以原方程的解集为.

(2)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，

解得y＝1或y＝2，

即x2＝1或x2＝2，所以x＝±1或x＝±.

所以原方程的解集为{－，－1，1，}．

(3)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0，

解得y＝－1＋或y＝－1－(舍去)．

从而＝－1＋，即x＝3－2，

所以原方程的解集为{3－2}．

(4)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，

解得t＝－1或t＝2，

即x2－x＋1＝0①

或x2－x－2＝0，②

对于①，Δ＝－3<0，无实数解；

对于②，易得x＝－1或x＝2，

故原方程的解集为{－1，2}．

知识点二　一元二次方程根与系数的关系

4．[多选]已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是(　　)

A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0

C．x1x2<0 D．x1＜0，x2＜0

答案：AC

解析：由已知可得Δ＝(－a)2－4×(－2)＝a2＋8>0，故方程有两个不相等的实根，即x1≠x2，由根与系数的关系得x1x2＝－2<0，x1＋x2＝a.故选AC.

5．以2和4为根的一元二次方程是(　　)

A．x2＋6x＋8＝0 B．x2－6x＋8＝0

C．x2＋6x－8＝0 D．x2－6x－8＝0

答案：B

解析：设一元二次方程为x2＋bx＋c＝0，则所以以2和4为根的一元二次方程为x2－6x＋8＝0.故选B.

6．已知m，n是方程x2－x－1＝0的两实数根，则＋的值为(　　)

A．－1 B．－

C. D．1

答案：A

解析：根据题意得m＋n＝1，mn＝－1，所以＋＝＝＝－1.

7．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝4，则b＝________．

答案：5

解析：∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，∵x1＋x2－3x1x2＝4，∴－b＋9＝4，∴b＝5.

8．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且x2－4x－k＝0与x2＋mx＋1＝0有一个根相同，求此时m的值．

解：(1)由题意，得Δ＝(－4)2－4k＝4(4－k)>0，∴k<4.

即k的取值范围为(－∞，4)．

(2)∵k∈(－∞，4)，且k是符合条件的最大整数，∴k＝3.

∴方程x2－4x－k＝0，即x2－4x－3＝0，其解集为{2－，2＋}．

设方程x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2，

则