2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点一　一元二次方程的解集 1．方程2x2－4x－3＝0配方后的方程是(　　) A．(x＋2)2＝ B．(x－1)2＝ C．(x－2)2＝ D．(x＋1)2＝ 答案：B 解析：化二次项系数为1，得x2－2x－＝0，配方得(x－1)2＝.故选B. 2．已知方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，则另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0的解集是(　　) A．{1，3} B．{1，－3} C．{－1，3} D．{－1，－3} 答案：D 解析：由已知可得2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x＝－1或x＝－3，即所求方程的解集为{－1，－3}．故选D. 3．求下列方程的解集： (1)2x2－4x－1＝0； (2)x4－3x2＋2＝0； (3)x＋2－1＝0； (4)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0. 解：(1)解法一：因为a＝2，b＝－4，c＝－1， 所以Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24>0， 所以x＝＝＝， 所以x＝或x＝， 所以原方程的解集为. 解法二：配方可得(x－1)2＝， 则x－1＝或x－1＝－， 所以x＝或x＝， 所以原方程的解集为. (2)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0， 解得y＝1或y＝2， 即x2＝1或x2＝2，所以x＝±1或x＝±. 所以原方程的解集为{－，－1，1，}． (3)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0， 解得y＝－1＋或y＝－1－(舍去)． 从而＝－1＋，即x＝3－2， 所以原方程的解集为{3－2}． (4)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0， 解得t＝－1或t＝2， 即x2－x＋1＝0① 或x2－x－2＝0，② 对于①，Δ＝－3<0，无实数解； 对于②，易得x＝－1或x＝2， 故原方程的解集为{－1，2}． 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 4．[多选]已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是(　　) A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0 C．x1x2<0 D．x1＜0，x2＜0 答案：AC 解析：由已知可得Δ＝(－a)2－4×(－2)＝a2＋8>0，故方程有两个不相等的实根，即x1≠x2，由根与系数的关系得x1x2＝－2<0，x1＋x2＝a.故选AC. 5．以2和4为根的一元二次方程是(　　) A．x2＋6x＋8＝0 B．x2－6x＋8＝0 C．x2＋6x－8＝0 D．x2－6x－8＝0 答案：B 解析：设一元二次方程为x2＋bx＋c＝0，则所以以2和4为根的一元二次方程为x2－6x＋8＝0.故选B. 6．已知m，n是方程x2－x－1＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案：A 解析：根据题意得m＋n＝1，mn＝－1，所以＋＝＝＝－1. 7．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝4，则b＝________． 答案：5 解析：∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，∵x1＋x2－3x1x2＝4，∴－b＋9＝4，∴b＝5. 8．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且x2－4x－k＝0与x2＋mx＋1＝0有一个根相同，求此时m的值． 解：(1)由题意，得Δ＝(－4)2－4k＝4(4－k)>0，∴k<4. 即k的取值范围为(－∞，4)． (2)∵k∈(－∞，4)，且k是符合条件的最大整数，∴k＝3. ∴方程x2－4x－k＝0，即x2－4x－3＝0，其解集为{2－，2＋}． 设方程x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 则 若方程x2＋mx＋1＝0的一个根为2－， 则另一个根为＝－， 此时m＝－(x1＋x2)＝－＝. 若方程x2＋mx＋1＝0的一个根为2＋， 则另一个根为＝， 此时m＝－(x1＋x2)＝－＝－. 一、单选题 1．方程x2＋6x－5＝0的左边配成完全平方后所得方程为(　　) A．(x＋3)2＝14 B．(x－3)2＝14 C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4 答案：A 解析：方程x2＋6x－5＝0可化为(x＋3)2＝14，故选A. 2．已知关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(0，1] D．[0，1] 答案：C 解析：关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有解得0<m≤1.故选C. 3．已知关于x的方程mx2－2x＋3＝0的解集为空集，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由已知可得m≠0，Δ＝(－2)2－4m×3＜0，4－12m＜0，m＞. 4．方程＋－6＝0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：解法一：∵x2>0，∴方程可变形为6x2－x－2＝0，即(3x－2)(2x＋1)＝0，解得x＝或－.故选B. 解法二：令t＝(t≠0)，则2t2＋t－6＝0，即(2t－3)(t＋2)＝0，解得t＝或－2，则x＝或－.故选B. 5．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2024的值为(　　) A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 答案：D 解析：m是2x2－3x－1＝0的一个根，则有2m2－3m－1＝0，2m2－3m＝1，所以6m2－9m＋2024＝3(2m2－3m)＋2024＝3＋2024＝2027.故选D. 二、多选题 6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2mx－3m2＝0(m>0)的两根，则下列说法正确的是(　　) A．x1＋x2＝2m B．x1x2＝－3m2 C．|x1－x2|＝4m D.＝－3 答案：ABC 解析：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2mx－3m2＝0的两根，∴x1＋x2＝2m，x1x2＝－3m2，|x1－x2|＝＝＝4m.由x2－2mx－3m2＝0，得(x－3m)(x＋m)＝0，∴x＝3m或－m，∴＝－3或－.故选ABC. 7．(2024·河北保定高一期中)等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x－1＋m＝0的两根，则m的值为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 答案：BC 解析：①当3为底时，则a＝b，因为a，b是关于x的一元二次方程x2－8x－1＋m＝0的两根，所以a＋b＝8，解得a＝b＝4，此时三角形的三边为3，4，4，这样的三角形存在，所以ab＝m－1＝16，得m＝17；②当3为腰长时，则a，b中有一个为3，不妨设a＝3，因为a，b是关于x的一元二次方程x2－8x－1＋m＝0的两根，所以a＋b＝8，得b＝8－3＝5，此时三角形的三边为3，3，5，这样的三角形存在，所以ab＝m－1＝15，得m＝16.综上，m＝17或m＝16.故选BC. 三、填空题 8．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2＝0}，则A∪B＝________． 答案：{－1，1，－2} 解析：A＝{－1，1}，B＝{－1，－2}，A∪B＝{－1，1，－2}． 9．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，则的值为________． 答案：3 解析：方程可化简为(m－1)2＝2，(n＋1)2＝2，m＝1±，n＝－1±，又因为mn≠1，所以＝m＋1＋＝1＋＋1＋＝3或＝1－＋1＋＝3. 10．已知x1，x2是方程x2＋2x－a＝0的两根，则(x1－2)(x2－2)＝________(用含a的代数式表示)． 答案：8－a 解析：因为x1，x2是方程x2＋2x－a＝0的两根，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－a，所以(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－a－2×(－2)＋4＝8－a. 四、解答题 11．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0(k≠0)的两个不相等的实数根，若＋－2的值为整数，求整数k的值． 解：因为x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0(k≠0)的两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ＝16k2－16k(k＋1)>0，解得k<0， 且x1＋x2＝1，x1x2＝， 由题意，＋－2＝－2 ＝－2＝－4 ＝－4＝－4＝， 由于为整数且k为整数，故k＋1只能取±1，±2，±4，又k<0， 则k＋1＝－1或k＋1＝－2或k＋1＝－4， 解得k＝－2或k＝－3或k＝－5， 故整数k的值为－2或－3或－5. 12．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值． 解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0， 由题意得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴k≤. ∴实数k的取值范围为. (2)由题意得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2， ∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1， ∵k≤，∴－2(k－1)＝k2－1， 整理得k2＋2k－3＝0，解得k＝－3或k＝1(舍去)， ∴k＝－3. 13．若实数x，y满足x2＋y2－xy－x－y＋1＝0，则x＝________，y＝________． 答案：1　1 解析：把x2＋y2－xy－x－y＋1＝0看成关于x的方程，整理得x2－(y＋1)x＋y2－y＋1＝0.因为x，y为实数，所以关于x的方程应有实数根，从而Δ＝[－(y＋1)]2－4(y2－y＋1)＝－3(y－1)2≥0，故y＝1.把y＝1代入原方程得x2－2x＋1＝0，解得x＝1. 14．(2024·陕西宝鸡高一期末)设x2－px＋q＝0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2－px＋q＝0，求数对(p，q)组成的集合M的真子集的个数． 解：根据题意得，α＋β＝p　①，αβ＝q　②，α2＋β2＝p　③，α2β2＝q　④，由②④可得α2β2－αβ＝0，解得αβ＝1或αβ＝0，即q＝1或q＝0.由①②③可得α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝p2－2q＝p，即p2－p＝2q. 当q＝0时，p2－p＝0，解得p＝0或p＝1，即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意； 当q＝1时，p2－p－2＝0，解得p＝－1或p＝2，即或把它们代入原方程的判别式中可知不符合题意，舍去． 所以数对(p，q)组成的集合M的元素个数是3，所以数对(p，q)组成的集合M的真子集的个数是23－1＝7. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$