2.1.1 等式的性质与方程的解集-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 2．1.1　等式的性质与方程的解集 知识点一　等式的性质 1．设x，y，c是实数，则下列说法正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则＝ D．若＝，则2x＝3y 答案：B 解析：由等式的性质可知B正确．A中应为x＋c＝y＋c，C中c不能为0，D中应为3x＝2y.故选B. 2．若＝，则＝________． 答案： 解析：由＝，得＝＋1＝＋1＝. 知识点二　恒等式 3．化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　) A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 答案：C 解析：(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. 4．[多选]下列等式中是恒等式的是(　　) A．(x－2)(x＋2)＝x2－4 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9 D．16x2－9＝24x 答案：ABC 解析：对于A，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；对于B，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；对于C，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，使用平方差公式化简，是恒等式；对于D，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式． 5．利用十字相乘法对x2－5x＋4分解因式． 解：对于式子x2－5x＋4来说，因为－1＋(－4)＝－5，且－1×(－4)＝4，所以x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)． 知识点三　方程的解集 6．方程－＝1的解集为(　　) A．{3} B．{－1，－17} C．∅ D．{－17} 答案：D 解析：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6，去括号，得3x－9－4x－2＝6，移项，得－x＝17，系数化为1，得x＝－17.方程的解集为{－17}． 7．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n＝________． 答案：－2 解析：因为n是方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则有n2＋mn＋2n＝0⇒n(n＋m＋2)＝0，即n＋m＋2＝0，所以m＋n＝－2. 8．求方程x(x－1)＝7(1－x)的解集． 解：由x(x－1)＝7(1－x)，得x2－x＝7－7x， 即x2＋6x－7＝0，(x－1)(x＋7)＝0， 故x＝1或x＝－7. 所以原方程的解集为{1，－7}． 9．已知集合A＝{x|x2＋(a＋b)x＋ab＝0(a≠b)}，B＝，若A∩B＝A，求实数a，b的值． 解：由x2＋(a＋b)x＋ab＝0， 得(x＋a)(x＋b)＝0， 所以x＝－a或x＝－b，所以A＝{－a，－b}． 因为A∩B＝A，所以A⊆B， 所以或 即或 一、单选题 1．x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案：B 解析：因为x＝1是方程2x－a＝0的解，所以a＝2.故选B. 2．下列等式中，属于恒等式的是(　　) A．x2＝0 B．x＋y＝0 C．＝·(x≠0，y≠0) D．＝· 答案：C 解析：对于A，当x＝1时，x2≠0，故A错误；对于B，取x＝0，y＝1，则x＋y＝1≠0，故B错误；对于C，＝·(x≠0，y≠0)，故C正确；对于D，取x＝y＝－1，可得＝1，与无意义，故D错误．故选C. 3．整式－(an＋1)(an－1)＋(an)2(n∈N)化简的结果是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 答案：A 解析：－(an＋1)(an－1)＋(an)2＝－(a2n－1)＋a2n＝－a2n＋1＋a2n＝1. 4．一元二次方程2＝x(x＋2)的解集是(　　) A. B．{－3，－2} C．{0，2} D．{3，－3} 答案：D 解析：方程可化为2x＋9＝x2＋2x，即x2＝9，所以x＝3或x＝－3，即原方程的解集为{3，－3}．故选D. 5．一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为(　　) A．(x＋1)(x－2) B．(2x＋1)(x－2) C．2(x－1)(x＋2) D．2(x＋1)(x－2) 答案：D 解析：∵一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，∴2(x＋1)(x－2)＝0，∴2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2)．故选D. 二、多选题 6．下列各式正确的是(　　) A．a2＋4a＋5＝(a＋1)(a＋5) B．4a2＋12ab＋9b2＝(2a＋3b)2 C．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) D．a3－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2) 答案：BC 解析：对于A，右边＝a2＋6a＋5≠左边，故A错误；对于B，右边＝4a2＋12ab＋9b2＝左边，故B正确；对于C，根据立方和公式可知，C正确；对于D，根据立方差公式可知，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，故D错误．故选BC. 7．(2024·重庆北碚高一期中)方程＝的解集只有一个元素，那么该方程的解集可以是(　　) A．{1} B．{2} C．{3} D．{4} 答案：ABC 解析：由题意可知x≠－1且x≠0，则原方程可化为x＝，得x2－2x－m＝0，若方程有一根为0，则m＝0，此时原方程的解为x＝2(x＝0舍去)，符合题意；若方程有一根为－1，则m＝3，此时原方程的解为x＝3(x＝－1舍去)，符合题意；若Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故原方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故选ABC. 三、填空题 8．方程1－x＝x＋3的解集为________． 答案： 解析：化简1－x＝x＋3，得x＝－2，故x＝－，即方程1－x＝x＋3的解集为. 9．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米，设绿地宽为x米，根据题意，列方程为________，其解集为________． 答案：x(x＋40)＝1200(x>0)　{20} 解析：根据题意可列方程x(x＋40)＝1200，即(x－20)(x＋60)＝0，x>0，解得x＝20，即方程的解集为{20}． 10．已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，则m＝________． 答案：2 解析：方程mx2＋5x＋m2－2m＝0的一个根为0，则有m2－2m＝0，解得m＝0或m＝2，又因为方程为一元二次方程，所以m≠0，即m＝2. 四、解答题 11．求下列方程的解集： (1)2x2－4x－30＝0； (2)(200－x)(x－120)＝1500； (3)ax2－(a＋1)x＋1＝0. 解：(1)方程可化为x2－2x－15＝0， 即(x－5)(x＋3)＝0，解得x＝5或x＝－3. 方程的解集为{5，－3}． (2)方程可化为x2－320x＋25500＝0， 解得x＝150或x＝170. 即方程的解集为{150，170}． (3)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0， 所以x＝1. 当a≠0时，ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 即原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0， 所以当a≠0且a≠1时，x＝或x＝1. 当a＝1时，x＝1. 综上所述，当a＝0或a＝1时，方程的解集为{1}； 当a≠0且a≠1时，方程的解集为. 12．(2024·浙江宁波高一期中)已知关于x的方程x－＝1－与－＝1有相同的解集，求a的值及方程的解集． 解：方程x－＝1－化为6x－3(3－2x)＝6－x－2a， 整理，得13x＝15－2a， 解得x＝. 方程－＝1化为2(2x＋a)－(x－a)＝6， 整理，得3x＝－3a＋6， 解得x＝－a＋2. 由题意，得＝－a＋2，解得a＝1， 所以x＝1. 综上，a＝1，方程的解集为{1}． 13．关于x的方程mx＋4＝3x－n的解集为R，则m＝________，n＝________． 答案：3　－4 解析：由题意知(m－3)x＝－n－4.当m－3＝0且－n－4＝0，即m＝3且n＝－4时，方程的解集为R. 14．已知集合A＝{x|x2－9x＋20＝0}，B＝{x|x2－(a＋1)2x＋2a(a2＋1)＝0}，且A≠B，A∩B≠∅，求正实数a的取值范围． 解：A＝{x|x2－9x＋20＝0}＝{x|(x－4)(x－5)＝0}＝{4，5}， B＝{x|x2－(a＋1)2x＋2a(a2＋1)＝0}＝{x|(x－2a)[x－(a2＋1)]＝0}， 当2a＝a2＋1，即a＝1时，B＝{2}，不符合题意； 当2a≠a2＋1，即a≠1时，B＝{2a，a2＋1}， 因为A∩B≠∅， 所以2a＝4或2a＝5或a2＋1＝4或a2＋1＝5， 又a>0，所以a＝2或a＝或a＝， 又A≠B，所以a≠2. 综上，正实数a的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$