1.1.2 集合的基本关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 1．1．2　集合的基本关系 知识点一　子集、真子集 1．给出下列四个命题： ①若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B； ②若AB，则B不可能是空集； ③∅＝{0}； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：根据子集的定义可知①正确；若B是空集，则A不可能是B的真子集，故②正确；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误；空集只有本身一个子集，故④错误．故选C. 2．集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 解析：解法一：集合M的真子集所含有的元素可以有0个，1个或2个，含有0个元素为∅；含有1个元素的真子集有3个，分别是{1}，{2}，{3}；含有2个元素的真子集有3个，分别是{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有7个真子集．故选B. 解法二：集合M共有23－1＝7个真子集．故选B. 知识点二　集合间的关系 3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是(　　) A．A⊆B B．A＝B C．AB D．AB 答案：D 解析：对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB. 4．下列关系正确的是________(填序号)． ①{a}⊆{a}；②{1，2，3}＝{3，2，1}；③∅{0}；④0∈{0}；⑤∅∈{0}． 答案：①②③④ 解析：因为任何一个集合都是它本身的子集，故①正确；两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等，故②正确；因为{0}中有一个元素0，所以是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故③正确；因为{0}中有一个元素0，所以0∈{0}，故④正确；∅与{0}是两个集合，不能用符号“∈”，故⑤不正确． 5．指出下列各对集合之间的关系． (1)A＝{－1，3}，B＝{x∈N||x－1|＝2}； (2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}； (4)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}． 解：(1)用列举法表示集合B＝{3}，故BA. (2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系． (3)等边三角形是三边相等的三角形，故AB. (4)∵B＝{x|x＜5}，∴AB. 知识点三　由集合间的包含关系求参数 6．设A＝{x|x>－1}，B＝{x|x>a}，若AB，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：由AB可求得a<－1. 7．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，则实数a的值为________． 答案：0或或－2 解析：由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1，3}．当B⊆A时，B＝∅或B＝{－1}或B＝{3}．当B＝∅时，得a＝0；当B＝{－1}时，得a＝－2；当B＝{3}时，得a＝.综上可知，a＝0 或a＝－2或a＝. 8．已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3； 当B≠∅时，根据题意用数轴表示集合A，B，如图所示， 可得或 解得a<－4或2<a≤3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}． 9．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}． (1)若N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，M⊆N，求实数m的取值范围； (2)若N＝{x|m－5≤x≤2m－1}，M＝N，求实数m的值． 解：(1)若M⊆N，则 解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}． (2)若M＝N，则 解得m＝3，所以实数m的值为3. 一、单选题 1．已知集合A＝{x∈Z|0≤x≤4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则(　　) A．AB B．A＝B C．A∈B D．B⊆A 答案：A 解析：由题意可得A＝{0，1，2，3，4}，所以AB.故选A. 2．集合P＝{x|y＝}，Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　) A．P＝Q B．PQ C．PQ D．Q∈P 答案：B 解析：由x＋1≥0，得x≥－1，∴P＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，∴QP.故选B. 3．集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．无法判断 答案：C 解析：∵集合M中，x＝＋＝集合N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.故选C. 4．已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案：A 解析：集合{0，1，2}的子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}．其中含有偶数的子集有{0}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，所以集合A的个数为6.故选A. 5．非空集合M⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}，满足条件：若x∈M，则9－x∈M.这样的M有(　　) A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 答案：C 解析：由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M为非空集合，则M可以为{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}，{1，8，2，7}，{1，8，3，6}，{1，8，4，5}，{2，7，3，6}，{2，7，4，5}，{3，6，4，5}，{1，8，2，7，3，6}，{1，8，2，7，4，5}，{1，8，3，6，4，5}，{2，7，3，6，4，5}，{1，8，2，7，3，6，4，5}，所以共有15个．故选C. 二、多选题 6．(2024·江西赣州高一月考)下列说法正确的是(　　) A．{x|x是素数}⊆{x|x是奇数} B．集合{1，2}与集合{(1，2)}非空子集的个数相同 C．空集是非空集合的真子集 D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C 答案：CD 解析：对于A，因为2是素数，但2不是奇数，所以A错误；对于B，集合{1，2}有两个元素，其非空子集的个数为22－1＝3，集合{(1，2)}有一个元素，其非空子集的个数为21－1＝1，所以B错误；对于C，因为空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，所以C正确；对于D，因为A⊆B，B⊆C，所以A⊆C，所以D正确．故选CD. 7．已知集合A＝{1，2，4，8}，B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}，则下列说法正确的是(　　) A．AB B．{1，4，16，64}⊆B C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为127 答案：ABD 解析：∵A＝{1，2，4，8}，∴B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1，2，4，8，16，32，64}，∴AB，A正确；{1，4，16，64}⊆B，B正确；集合B中元素的个数为7，C错误；集合B的真子集的个数为27－1＝127，D正确．故选ABD. 三、填空题 8．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________． 答案：BA 解析：A中，x∈R，y∈R，所以A表示直线y＝x上所有点构成的集合．B中的x≠0，所以B表示直线y＝x上除原点外的所有点构成的集合．所以BA. 9．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B⊆A的实数m的值所组成的集合为________． 答案： 解析：∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，又B⊆A，当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝∅，满足条件；当m≠0时，则B＝{－3}或B＝{2}，即m＝或m＝－.故满足条件的实数m的值所组成的集合为. 10．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若集合A有4个子集，则a的取值集合为________． 答案：{a|a<1且a≠0} 解析：因为集合A有4个子集，所以A中有两个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的根，所以a≠0，Δ＝4－4a>0，解得a<1且a≠0.故a的取值集合为{a|a<1且a≠0}． 四、解答题 11．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，且B⊆A，求实数a，b的值． 解：A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}，由B⊆A，且B≠∅，得B＝{1}或{－1}或{1，－1}． 当B＝{1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根1，所以a＝1，b＝1； 当B＝{－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根－1，所以a＝－1，b＝1； 当B＝{1，－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个根，分别为－1，1，所以a＝0，b＝－1. 综上所述，或或 12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围． 解：①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B； ②当a>0时，A＝. 又B＝{x|－1<x<1}，A⊆B，∴ ∴a≥2； ③当a<0时，A＝. ∵A⊆B，∴∴a≤－2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥2或a≤－2或a＝0}． 13．已知集合A＝{x|(a－2)x2＋4x＋1＝0}，若A的子集个数为2，则a的值为________． 答案：2或6 解析：因为A的子集个数为2，所以A中只有1个元素．当a＝2时，A＝{x|4x＋1＝0}＝，符合题意；当a≠2时，Δ＝42－4(a－2)＝0，解得a＝6，此时A＝{x|4x2＋4x＋1＝0}＝，符合题意．综上，a的值为2或6. 14．(2024·山西忻州期末)已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}． (1)若b＝4，求集合P； (2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围． 解：(1)当b＝4时，方程x2－3x＋b＝0的根的判别式Δ＝(－3)2－4×1×4<0，所以P＝∅. (2)当P＝∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2－3x＋b＝0，有Δ＝9－4b<0， 所以b>. 当P≠∅时，因为Q＝{－4，－1，1}， 所以当－1∈P时， (－1)2－3×(－1)＋b＝0，即b＝－4， 此时P＝{x|x2－3x－4＝0}＝{4，－1}， 因为4∉Q，所以P不是Q的子集； 同理当－4∈P时，b＝－28，P＝{7，－4}，也不是Q的子集； 当1∈P时，b＝2，P＝{1，2}，也不是Q的子集． 综上所述，b的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$