1.1.2 集合的基本关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．1．2　集合的基本关系

知识点一　子集、真子集

1．给出下列四个命题：

①若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B；

②若AB，则B不可能是空集；

③∅＝{0}；

④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．

其中正确命题的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

答案：C

解析：根据子集的定义可知①正确；若B是空集，则A不可能是B的真子集，故②正确；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误；空集只有本身一个子集，故④错误．故选C.

2．集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

答案：B

解析：解法一：集合M的真子集所含有的元素可以有0个，1个或2个，含有0个元素为∅；含有1个元素的真子集有3个，分别是{1}，{2}，{3}；含有2个元素的真子集有3个，分别是{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有7个真子集．故选B.

解法二：集合M共有23－1＝7个真子集．故选B.

知识点二　集合间的关系

3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是(　　)

A．A⊆B B．A＝B

C．AB D．AB

答案：D

解析：对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB.

4．下列关系正确的是________(填序号)．

①{a}⊆{a}；②{1，2，3}＝{3，2，1}；③∅{0}；④0∈{0}；⑤∅∈{0}．

答案：①②③④

解析：因为任何一个集合都是它本身的子集，故①正确；两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等，故②正确；因为{0}中有一个元素0，所以是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故③正确；因为{0}中有一个元素0，所以0∈{0}，故④正确；∅与{0}是两个集合，不能用符号“∈”，故⑤不正确．

5．指出下列各对集合之间的关系．

(1)A＝{－1，3}，B＝{x∈N||x－1|＝2}；

(2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；

(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；

(4)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．

解：(1)用列举法表示集合B＝{3}，故BA.

(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．

(3)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.

(4)∵B＝{x|x＜5}，∴AB.

知识点三　由集合间的包含关系求参数

6．设A＝{x|x>－1}，B＝{x|x>a}，若AB，则a的取值范围是________．

答案：(－∞，－1)

解析：由AB可求得a<－1.

7．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，则实数a的值为

________．

答案：0或或－2

解析：由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1，3}．当B⊆A时，B＝∅或B＝{－1}或B＝{3}．当B＝∅时，得a＝0；当B＝{－1}时，得a＝－2；当B＝{3}时，得a＝.综上可知，a＝0 或a＝－2或a＝.

8．已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

解：当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；

当B≠∅时，根据题意用数轴表示集合A，B，如图所示，

可得或

解得a<－4或2<a≤3.

综上，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．

9．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}．

(1)若N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，M⊆N，求实数m的取值范围；

(2)若N＝{x|m－5≤x≤2m－1}，M＝N，求实数m的值．

解：(1)若M⊆N，则

解得3≤m≤4.

所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．

(2)若M＝N，则

解得m＝3，所以实数m的值为3.