1.1.1 第2课时 集合的表示方法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 第2课时　集合的表示方法 知识点一　用列举法表示集合 1．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为(　　) A．{1，2} B．{(1，2)} C．{(1，1)，(2，2)} D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)} 答案：D 解析：x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2，∴集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．故选D. 2．用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集； (3)方程组的解集． 解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15， 所以所求集合可表示为{1，3，5，15}． (2)因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10， 所以所求集合可表示为{2，4，6，8，10}． (3)解方程组 得 所以所求集合可表示为{(－3，0)}． 知识点二　用描述法表示集合 3．用描述法表示图中阴影部分(含边界)内的点构成的集合为________． 答案：≤y≤1，且xy≥0 解析：用描述法表示为. 4．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数的集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 知识点三　区间及其表示 5．用区间表示下列数集． (1){x|x≥2}＝________； (2){x|3<x≤4}＝________； (3){x|x＜－1}＝________． 答案：(1)[2，＋∞)　(2)(3，4]　(3)(－∞，－1) 解析：由区间表示法知，(1){x|x≥2}＝[2，＋∞)，(2){x|3<x≤4}＝(3，4]，(3){x|x<－1}＝(－∞，－1)． 知识点四　集合表示法的综合应用 6．用列举法表示集合A＝＝________． 答案：{－2，2，4，5} 解析：∵x∈Z且∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时，∉N；当x＝0时，∉N；当x＝1时，∉N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，∉N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2，2，4，5}． 7．已知集合A＝{x|x<5且x∈N＋}，B＝{(a，b)|a＋b2＝1，b∈A}，则用列举法表示集合B＝________． 答案：{(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)} 解析：∵x<5且x∈N＋，∴x＝1，2，3，4，∴A＝{1，2，3，4}．又a＋b2＝1，且b∈A，∴当b＝1时，a＝0；当b＝2时，a＝－3；当b＝3时，a＝－8；当b＝4时，a＝－15.∴B＝{(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)}． 8．若49∈，则a＝________． 答案：－7 解析：若7a＝49，即a＝7，a2＝7a＝49，不符合集合中元素的互异性，所以a2＝49，解得a＝－7或a＝7(舍去)．综上所述，a＝－7. 一、单选题 1．方程组的解组成的集合是(　　) A．{2，1} B．(2，1) C．{(2，1)} D．{－1，2} 答案：C 解析：先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2，1)，故选C. 2．下列集合恰有两个元素的是(　　) A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x} C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x} 答案：C 解析：A项表示只有一个元素“x2－x＝0”的集合；B项为二次函数y＝x2－x中自变量x的取值范围，有无数个元素；C项为方程y2－y＝0的解，有0，1两个元素；D项中，y＝x2－x≥－，集合中有无数个元素．故选C. 3．设集合M＝[3，＋∞)，m＝，则下列关系中正确的是(　　) A．{m}∈M B．{m}∈{M} C．m∈{M} D．m∈M 答案：D 解析：∵M是所有大于或等于3的数组成的集合，且＞3，∴∈M.故选D. 4．若集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x＋y－4>0，x，y∈A}，则集合B中的元素个数为(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 答案：D 解析：通过列举，可知x，y∈A的数对共9对，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种．∵B＝{(x，y)|x＋y－4>0，x，y∈A}，∴易得(2，3)，(3，2)，(3，3)满足x＋y－4>0.∴集合B中的元素个数为3.故选D. 5．集合可表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵3＝，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N＋，∴集合为.故选D. 二、多选题 6．已知集合M＝{m|m＝a＋b，a∈Q，b∈Q}，若x＝，y＝3＋π，则x，y与集合M间的关系正确的是(　　) A．x∈M B．x∉M C．y∈M D．y∉M 答案：AD 解析：x＝＝－－，∵－，－∈Q，∴x∈M，∵3∈Q，π∉Q，∴y∉M.故选AD. 7．下列说法中正确的是(　　) A．∅∈{0} B．∅＝{0} C．集合{x|x2－2x＋1＝0}中只有一个元素 D．集合是有限集 答案：CD 解析：根据∅的定义知，A，B均不正确；集合{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}中只有一个元素，C正确；集合＝{1，5}中只有两个元素，是有限集，D正确．故选CD. 三、填空题 8．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________． 答案：2 解析：由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，则其所有元素之和为2. 9．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________． 答案：(2，5) 解析：由题意知，a∈A，a∈B，所以a是方程组的解，解方程组，得即a为(2，5)． 10．若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________． 答案：[2，＋∞) 解析：因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 四、解答题 11．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集． (1)方程x2(x＋1)＝0的解组成的集合； (2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合； (3)自然数的平方组成的集合． 解：(1)由x2(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝0，所以该集合可表示为{－1，0}．故该集合为有限集． (2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．故该集合为无限集． (3)自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0，12，22，32，…}，用描述法可表示为{x|x＝n2，n∈N}．故该集合为无限集． 12．已知A＝{x|x2－(a＋1)x＋b＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B. 解：因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1. 所以 解得 将a＝－3，b＝－3代入x2－2ax＋b＝0， 得x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±2， 所以B＝{－3－2，－3＋2}． 13．(2024·湖南长沙高一期末)已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和组成的集合为{1，2，3}，则集合A中任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合是________． 答案：{1，2} 解析：由题意知解得所以集合A＝{0，1，2}，则集合A中任意2个不同元素的差的绝对值分别是1，2，故集合A中任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合是{1，2}． 14．(2024·北京大兴高一期中)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解：(1)∵A是空集，∴a≠0且Δ<0， ∴a≠0且9－8a<0，解得a>， ∴a的取值范围为. (2)当a＝0时，集合A＝{x|－3x＋2＝0}＝； 当a≠0时，Δ＝0， ∴9－8a＝0， 解得a＝，此时集合A＝. 综上所述，a的值为0或，当a＝0时，元素为，当a＝时，元素为. (3)当a＝0时，A＝，符合题意； 当a≠0时，要使关于x的方程ax2－3x＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a≥0， 得a≤且a≠0. 综上所述，a的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$