3.4 曲线与方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 (教师独具内容) 课程标准：1.了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法． 教学重点：1.曲线与方程的概念.2.求动点的轨迹方程． 教学难点：1.分析、判断曲线与方程的关系.2.求动点的轨迹方程． 核心素养：1.通过学习曲线的方程与方程的曲线的概念，培养数学抽象素养.2.通过在具体问题情境中求曲线的方程，并利用求出的曲线方程研究曲线的性质，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 核心概念掌握 知识点　曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解， (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到y轴的距离等于4的点的轨迹方程为x＝4.(　) (2)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为____． (2)点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝____． (3)已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程是____． 答案　(1)x2＝4y　(2)5　(3)y2＝4x 核心素养形成 题型一　曲线与方程的概念 例1　下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2； (2)以O(0，0)为圆心，2为半径的圆的方程是y＝； (3)设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程为x＋y－2＝0. [解]　(1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的一部分． (2)错误．以方程y＝的任一组解M(x0，y0)为坐标的点，均满足y0＝，即x＋y＝4，就是说M在以原点为圆心，2为半径的圆上，但是以原点为圆心，2为半径的圆上的点不全是方程y＝的解．如N(0，－2)在圆上，但不满足方程y＝，所以以O(0，0)为圆心，2为半径的圆的方程不是y＝. (3)错误．方程x＋y－2＝0的解(－1，3)不在线段AB上，线段AB的方程是x＋y－2＝0(0≤x≤2)． 感悟提升 解决此类问题要从以下两方面入手： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程． [跟踪训练1]　命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中正确的是(　) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是曲线C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 答案　B 解析　曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确． 题型二　定义法求轨迹方程 例2　如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程． (1)△PAB的周长为10； (2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)． [解]　(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b＝，因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，因此|PA|－|PB|＝1<4＝|AB|.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，所以b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1. 感悟提升 定义法求轨迹方程及其注意点 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程． (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制． [跟踪训练2]　△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4) 答案　C 解析　设△ABC的内切圆与x轴相切于点D，则D(3，0)．由于AC，BC都为圆的切线．故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6<10＝|AB|.由双曲线定义知所求轨迹方程为－＝1(x>3)． 题型三　直接法求轨迹方程 例3　已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程． [解]　如图，设动圆圆心为O1(x，y)， 由题意得|O1A|＝|O1M|， 当O1不在y轴上时， 过O1作O1H⊥MN交MN于点H，则点H是MN的中点，∴|O1M|＝， 又|O1A|＝， ∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)． 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0，0)也满足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. 感悟提升 直接法求轨迹方程 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简． (2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的． ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． [跟踪训练3]　在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为______． 答案　x2＋3y2＝4(x≠±1) 解析　因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－(x≠±1)，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)． 题型四　利用相关点(代入法)求轨迹方程 例4　如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ. (1)求点N的轨迹方程； (2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值． [解]　(1)设点P，N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1，0)，且x＝x1， ∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)， ＝(x1－x，－y)＝(0，－y)， 由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)． ∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y. ∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上， ∴＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1. ∴点N的轨迹方程为＋(1＋λ)2y2＝1. (2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝， 解得λ＝－或λ＝－. ∴当λ＝－或λ＝－时，点N的轨迹是圆． 感悟提升 代入法求轨迹方程的四个步骤 (1)设出所求动点坐标P(x，y)． (2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系． (3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′. (4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解． [跟踪训练4]　已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程． 解　设P(x，y)，A(m，0)，B(0，n)， 因为＝3， 所以(x，y－n)＝3(m－x，－y)＝(3m－3x，－3y)， 即所以 因为|AB|＝4，所以m2＋n2＝16， 所以x2＋16y2＝16， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 题型五　参数法求轨迹方程 例5　在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，求圆心P的轨迹方程． [解]　设P(x，y)，圆P的半径为r. 由题设可得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2， 消去r可得y2＋2＝x2＋3， 所以圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1. 感悟提升 参数法求轨迹方程的步骤 (1)选取参数k，用k表示动点M的坐标． (2)得出动点M的参数方程 (3)消去参数k，得M的轨迹方程． (4)由k的范围确定x，y的范围． [跟踪训练5]　已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求线段AB的中点M的轨迹方程． 解　因为直线l的斜率不为零，且F(1，0)， 所以设直线l的方程为x＝my＋1. 由消去x， 并整理得y2－4my－4＝0. Δ＝16m2＋16>0. 所以y1＋y2＝4m，所以x1＋x2＝(my1＋1)＋(my2＋1)＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2. 设M(x，y)，则消去m，并整理得y2＝2x－2. 即点M的轨迹方程为y2＝2x－2. 随堂水平达标 1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负可为零，∴点M在曲线y2＝4x上，但M的坐标不一定满足y＝－2.反之点M的坐标满足y＝－2时，点M却一定在曲线y2＝4x上．故选B. 2．(多选)已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，2)(　) A．在直线l上 B．在曲线C上 C．不在直线l上 D．不在曲线C上 答案　AD 解析　将点M(2，2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.故选AD. 3．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是(　) 答案　C 解析　方程x2＋y2＝1表示的图形是圆心在原点的单位圆，因为xy<0，所以方程的曲线是该单位圆在第二和第四象限的部分．故选C. 4．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，连接点P与点Q(0，－1)，则线段PQ中点的轨迹方程是____． 答案　y＝4x2 解析　设P(x1，y1)，线段PQ的中点为M(x，y)，因为Q(0，－1)，所以所以因为P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，所以y1＝2x＋1，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，化简为y＝4x2，所以线段PQ中点的轨迹方程为y＝4x2. 5．平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 解　解法一：设点P的坐标为(x，y)， 则有＝|x|＋1. 两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|. 所以y2＝即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)． 解法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1， 故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件； 当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)的距离与点P到直线x＝－1的距离相等， 故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x. 故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)． 课后课时精练 一、选择题 1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 答案　C 解析　因为a>0，所以a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立，所以|PF1|＋|PF2|≥6.当|PF1|＋|PF2|＝6时，点P的轨迹为线段F1F2；当|PF1|＋|PF2|>6时，点P的轨迹为椭圆．故选C. 2．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为(　) A．x2＋y2＝4 B.＋＝1 C.－＝1 D．y2＝4x 答案　B 解析　因为点M(x，y)到直线x＝4的距离是到点N(1，0)的距离的2倍，所以|x－4|＝2，化简得＋＝1.即动点M的轨迹方程为＋＝1.故选B. 3．已知点F是抛物线y＝x2的焦点，点P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(　) A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－ C．x2＝y－ D．x2＝2y－2 答案　A 解析　抛物线的方程可化为x2＝16y，焦点F(0，4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线的方程得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16，故选A. 4．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程y＝mx＋n与＋＝1所表示的曲线可能是(　) 答案　C 解析　当m>n>0时，＋＝1为焦点在x轴上的椭圆，y＝mx＋n是过一、二、三象限的直线，故A不可能；当n>m>0时，＋＝1为焦点在y轴上的椭圆，y＝mx＋n是过一、二、三象限的直线，故B不可能；当m>0>n时，＋＝1为焦点在x轴上的双曲线，y＝mx＋n是过一、三、四象限的直线，故C可能；当n>0>m时，＋＝1为焦点在y轴上的双曲线，y＝mx＋n是过一、二、四象限的直线，故D不可能．故选C. 5．(多选)曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列结论正确的是(　) A．曲线C过坐标原点 B．曲线C关于x轴对称 C．曲线C关于坐标原点对称 D．若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2 答案　BCD 解析　由题意，得曲线C上的点P(x，y)满足的方程为·＝a2.对于A，将(0，0)代入方程，得a2＝1，与a>1矛盾，A错误；对于B，对曲线C上的任一点(x0，y0)，其关于x轴的对称点(x0，－y0)也在曲线C上，故曲线C关于x轴对称，B正确；对于C，对曲线C上的任一点(x0，y0)，其关于坐标原点的对称点(－x0，－y0)也在曲线C上，故曲线C关于坐标原点对称，C正确；对于D，S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，D正确．故选BCD. 二、填空题 6．已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为____． 答案　椭圆 解析　因为点P满足＝(＋)，所以P是线段QF1的中点，设P(x0，y0)，由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－，0)，故Q(2x0＋，2y0)，由点Q在椭圆C上，则点P的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹为椭圆． 7．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是____． 答案　① 解析　①正确；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确，如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在角平分线C上；④不正确，如点(0，0)在角平分线C上，但其坐标不满足方程＝1. 8．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为____． 答案　y2＝4(x－2) 解析　①当直线斜率k存在时，设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x＝x1＋x2＝.y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)； ②当直线斜率k不存在时，直线方程为x＝1，由＝2得P(2，0)，适合y2＝4(x－2)． 综合①②，点P的轨迹方程为y2＝4(x－2)． 三、解答题 9．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， ∴圆心为F1(－5，0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42， ∴圆心为F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R， 则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10， ∴动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5， ∴b2＝， ∴动圆圆心M的轨迹方程为x2－y2＝1. 10．已知圆M：(x＋)2＋y2＝36及定点N(，0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足＝2，·＝0，求点G的轨迹方程． 解　⇒Q为PN的中点，且GQ⊥PN， ∴GQ所在直线是PN的中垂线， |PG|＝|GN|. ∴|PM|＝|GM|＋|PG|＝|GM|＋|GN|＝6>2＝|MN|， ∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 又a＝3，c＝， ∴b＝2， ∴点G的轨迹方程为＋＝1. 1．已知在△ABC中，三边c>b>a，且2b＝a＋c，b＝2，试求点B的轨迹方程． 解　如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． 由于b＝|AC|＝2，则A点坐标为(－1，0)，C点坐标为(1，0)． 因为2b＝a＋c， 所以4＝|AB|＋|BC|. 设B点坐标为(x，y)，则 |AB|＝， |BC|＝. 所以4＝＋. 移项，两边平方并整理， 得4－x＝2. 两边再平方并整理，得3x2＋4y2＝12. 又c>a，即|AB|>|BC|，且A，B，C三点不共线， 所以0<x<2. 所以动点B的轨迹方程为3x2＋4y2＝12(0<x<2)． 2．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点． (1)求椭圆Γ的方程； (2)设点A在椭圆Γ上运动，OA⊥OB，且点O到直线AB的距离为常数，求动点B的轨迹方程． 解　(1)∵椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点， ∴b＝c＝，∴a＝＝2， ∴椭圆Γ的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x，y)，由OA⊥OB，得 x1x＋y1y＝0，① 由点A在椭圆上，得＋＝1，② 联立①②，得x＝，y＝.③ 由OA⊥OB，点O到AB的距离为，得 |OA|·|OB|＝|AB|， ∴|OA|2·|OB|2＝3(|OA|2＋|OB|2)， ∴＝， 即＋＝. 将③代入得＋ ＝＋ ＝＋ ＝＝， 化简，得点B的轨迹方程为－＝1. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$