3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 第2课时　直线与双曲线的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：1.进一步巩固双曲线的简单几何性质.2.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法． 教学重点：1.直线与双曲线的位置关系.2.直线与双曲线相交所得弦长的计算． 教学难点：直线与双曲线位置关系的综合问题． 核心素养：1.通过学习直线与双曲线的位置关系，培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过对直线与双曲线相交所得弦长的计算，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 核心概念掌握 知识点　直线与双曲线的位置关系的判断 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ>0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ<0⇔直线与双曲线相离，没有公共点． 1．双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a>0，b>0)的通径长也是. 注意：若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长； 若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 2．直线与双曲线有一个公共点的两种情况 (1)直线与双曲线相切； (2)直线与双曲线的渐近线平行． 3．双曲线－＝1(a>0，b>0)以点P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k＝，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标． 4．双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1；从该双曲线外一点P1(x1，y1)所引的两条切线的切点弦方程为－＝1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．(　) (2)过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条．(　) (3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案填在横线上) (1)若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为____． (2)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝____． 答案　(1)　(2)4 核心素养形成 题型一　直线与双曲线的位置关系 例1　已知双曲线C：x2－＝1，直线l的斜率为k，且过点P(1，1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ [解]　由题意得直线l：y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋(1－k)． 由 得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*) 当k2－2＝0，即k＝±时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点． 当k2－2≠0时，Δ＝24－16k， 若Δ＝0，即k＝时，方程(*)有两个相等的实数解，直线与双曲线相切，只有一个公共点； 若Δ>0，即k<时，方程(*)有两个不相等的实数解，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若Δ<0，即k>时，方程(*)无实数解，直线与双曲线无公共点． 综上，当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点． 当k<且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点． 当k>时，直线l与双曲线无公共点． 感悟提升 判断直线与双曲线的位置关系的方法 (1)代入法：将直线方程与双曲线方程联立，方程组解的个数就是直线与双曲线公共点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． (2)数形结合法 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系； ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． [跟踪训练1]　(1)过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，若当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个公共点，当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同公共点，则a的取值范围为(　) A．(1，) B. C．(，2) D．(2，) 答案　B 解析　由题意可得且双曲线的渐近线斜率为±，则1<<2，解得1<a<. (2)已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程． 解　由题意可得，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x. ①直线x＝1与双曲线只有一个公共点． ②直线l过点P(1，1)且平行于渐近线y＝±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，方程为y－1＝±2(x－1)， 即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0. ③设过点P的切线方程为y－1＝k(x－1)，与双曲线x2－＝1联立，利用Δ＝0，可得k＝， 方程为y＝x－，即5x－2y－3＝0. 故直线l的方程为x－1＝0或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0或5x－2y－3＝0. 题型二　弦长问题 例2　已知双曲线的焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3)． (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． [解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由已知可得双曲线的左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1， 又c＝2，所以b＝， 所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2， 联立双曲线与直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0， 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－， 由弦长公式得 |AB|＝·＝6. 感悟提升 求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝. [跟踪训练2]　已知双曲线－y2＝1，直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 解　∵直线l的倾斜角为， ∴直线l的斜率k＝1. 设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程， 得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， ∴Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－m，x1x2＝. 由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得 ＝， ∴＝，解得m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5. 题型三　中点弦问题 例3　已知双曲线的方程为x2－＝1，是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在直线的方程；如果不存在，请说明理由． [解]　解法一：不存在．理由：由题知直线的斜率存在，设被点B(1，1)平分的弦所在直线的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， ∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0， 解得k<，且k≠±，x1＋x2＝. ∵B(1，1)是弦的中点， ∴＝1，∴k＝2>. 故不存在被点B(1，1)平分的弦． 解法二：不存在．理由：设存在被点B平分的弦MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由中点公式得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. 由题意知两式相减得 (x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)． ∴kMN＝＝2. 故直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 由消去y，得2x2－4x＋3＝0，Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0. 这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在． 感悟提升 中点弦问题 在双曲线中应用点差法或根与系数的关系解决中点弦问题时，一定要保证直线与双曲线有两个交点，故有时要用判别式加以检验． [跟踪训练3]　已知双曲线的方程是－y2＝1.过点P(3，1)作直线l，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l的方程． 解　设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 点P(3，1)为AB的中点，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝2. 把A，B两点的坐标分别代入双曲线方程得x－4y＝4，x－4y＝4. 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，∴＝， ∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满足Δ>0， ∴直线l的方程为3x－4y－5＝0. 题型四　直线与双曲线的综合问题 例4　已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的公共点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围． [解]　(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 由已知得a＝，c＝2，所以b＝1. 故双曲线C的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1， 可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0， 由直线l与双曲线交于不同的两点得 故k2≠且k2<1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 由·>2得x1x2＋y1y2>2. 又y1y2＝(kx1＋)(kx2＋) ＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2 ＝＋＋2＝＋2， 所以＋＋2>2. 所以>0. 又因为k2≠且k2<1，所以<k2<1. 所以k的取值范围为. 感悟提升 与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解． [跟踪训练4]　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程． 解　(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2， 所以双曲线的方程为x2－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)． 易验证当直线l斜率不存在时不满足题意， 故可设直线l：y＝k(x－2)，由 消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，Δ>0. 根据题意知k≠±，x1＋x2＝， x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)， △F1AB的面积S＝c|y1－y2| ＝2|k|·|x1－x2| ＝2|k|· ＝12|k|·＝6. 得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1. 所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2. 随堂水平达标 1．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　) A．(1，2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2，1) 答案　C 解析　把y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0.设弦的两端点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点坐标为(x，y)，则x＝＝＝－1，从而y＝－2，即所求弦的中点坐标是(－1，－2)．故选C. 2．过双曲线x2－y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　解法一：设弦与双曲线的交点为A，B，A点在B点上方．则由AB⊥x轴且过右焦点可得A，B两点的横坐标为2.代入双曲线方程可得A(2，2)，B(2，－2)．故|AB|＝4.故选D. 解法二：由已知条件易知所求弦长为双曲线通径长，设弦与双曲线的交点为A，B，则|AB|＝＝＝4.故选D. 3．(多选)已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个公共点，则此直线斜率的值可以是(　) A．－ B．0 C. D．1 答案　ABC 解析　由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支有且只有一个公共点，画出图形(图略)，通过图形可知直线斜率的取值范围是.故选ABC. 4．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为____． 答案　 解析　如图，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，F(5，0)，∴直线过F且斜率为， ∴直线方程为y＝(x－5)， 由得－＝1，整理得5x＝17，∴x＝，y＝－，而|AF|＝c－a＝5－3＝2，∴S△AFB＝·|AF|·|y|＝×2×＝. 5．直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程． 解　设直线l的方程为y＝2x＋m， 由 得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.① 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)． 又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， ∴y1－y2＝2(x1－x2)， ∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝5(x1－x2)2 ＝5[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝5. ∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16. ∴3m2＝70，m＝±. 由①式得Δ＝24m2－240， 把m＝±代入上式，得Δ>0， ∴m的值为±. ∴直线l的方程为y＝2x±. 课后课时精练 一、选择题 1．设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为(　) A．(1，) B．(1，) C．(，＋∞) D．(，＋∞) 答案　C 解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，因为过右焦点F且斜率为3的直线l与双曲线的左、右支均相交，所以>3，即b2>9a2，c2>10a2.所以离心率e>.故选C. 2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝. 3．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝(　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　A 解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，根据点差法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，直线OP的斜率k2＝，所以k1k2＝·＝.故选A. 4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　) A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 答案　B 解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3.故选B. 5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则(　) A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为y＝±x C．∠PAF2＝45° D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点 答案　ABD 解析　因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又因为2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos∠PF1F2＝＝，所以c＝a，所以e＝，故A正确；e2＝＝＝3，所以＝2，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为2c＝2a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，又因为|AF2|＝c＋a＝(＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，故C错误；由得2(2－2y)2－y2＝2a2，即7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．已知点M(6，3)是直线l被双曲线－＝1截得的线段AB的中点，则直线l的方程是____． 答案　4x－y－21＝0 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴－＝－，∴2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．由M(6，3)是线段AB的中点，得x1＋x2＝12，y1＋y2＝6，代入上式，得4(x1－x2)＝y1－y2，又易知x1≠x2，∴kl＝＝4.于是直线l的方程为y－3＝4(x－6)，即4x－y－21＝0.又结合图形易检验知此方程符合题意．故所求直线l的方程是4x－y－21＝0. 7．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是____． 答案　±1 解析　由消去y，得x2－2mx－m2－2＝0，则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1. 8．双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为____，弦MN的长为____． 答案　－＝1　 解析　由题意可得MN中点的坐标为， 设双曲线的方程为－＝1， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－＝1，① －＝1，② 由①－②得 ＝， 即＝·， 所以＝，解得a2＝2， 故双曲线的方程为－＝1. 联立得3x2＋4x－12＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－4， 故|MN|＝＝. 三、解答题 9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点(0，1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积． 解　(1)依题意可得 解得a＝1，b＝2，c＝， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)直线l的方程为y＝x＋1， 联立 消去y得3x2－2x－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－， 则|AB|＝ ＝×＝， 原点到直线l的距离为d＝， 所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝. 10．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值． 解　(1)将y＝－x＋1代入双曲线C：－y2＝1， 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① ∴ 解得0<a<且a≠1， 又双曲线C的离心率e＝＝， ∴e>且e≠. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)． ∵＝， ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 由此得x1＝x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0. 由根与系数的关系， 得x2＝－，x＝－. 消去x2，得－＝，由a>0，得a＝. 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a，0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是. (1)求双曲线的方程； (2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程． 解　(1)依题意，直线l的方程为＋＝1， 即bx－ay－ab＝0. 由原点O到直线l的距离是， 得＝＝， 又e＝＝，所以b＝1，a＝. 故所求双曲线的方程为－y2＝1. (2)显然直线m不与x轴垂直， 设直线m的方程为y＝kx－1，点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程 消去y得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.① 依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知 x1＋x2＝，x1x2＝. 则·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1 ＝－＋1＝－23， 解得k＝±， 当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不相等的实数根，满足条件． 故直线m的方程为y＝x－1或y＝－x－1. 2．若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点． (1)求k的取值范围； (2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值． 解　(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.① ∵直线与双曲线右支交于A，B两点， 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 故 即∴1<k<. 故k的取值范围是{k|1<k<}． (2)由①式得x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝· ＝2＝6， 整理得28k4－55k2＋25＝0， ∴k2＝或k2＝. 又1<k<，∴k＝， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8. 设C(x3，y3)，由＝m(＋)， 得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m，8m)． ∵点C是双曲线上一点， ∴80m2－64m2＝1，得m＝±. 故k＝，m＝±. 20 学科网（北京）股份有限公司 $$