3.2.1 双曲线的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 3.2.1　双曲线的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 核心素养：1.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养.2.通过求解双曲线的标准方程，提升数学运算素养． 核心概念掌握 知识点一　双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 知识点二　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)； F2(c，0) F1(0，－c)； F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1．双曲线的定义中一定要注意的几点 (1)前提条件“平面上”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了； (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形； (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 2．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置； (2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解． 注：若无法确定双曲线的焦点位置，需分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论． 3．双曲线的焦点三角形 设双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，P为双曲线上一点，如图所示，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，构成的三角形称为焦点三角形，其中PF1，PF2，F1F2为三角形的三边，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c.解决与焦点三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．若∠F1PF2＝α，则S△PF1F2＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在双曲线的标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　) (3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a＞b.(　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)双曲线x2－4y2＝1的焦距为____． (2)与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程为____． (3)双曲线－＝1上一点P到点(5，0)的距离为15，那么该点到(－5，0)的距离为____． 答案　(1)　(2)－＝1　(3)23或7 核心素养形成 题型一　双曲线的定义 例1　已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 [解析]　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线． [答案]　A 感悟提升 双曲线的定义中应注意的三个问题 (1)注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹不存在． (2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”．若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支． [跟踪训练1]　已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是(　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 答案　D 解析　－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2，2<|F1F2|＝4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支． 题型二　求双曲线的标准方程 例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)两焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，且过点P； (2)焦点在坐标轴上，且过M，N两点． [解]　(1)由已知可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 代入点P可得－＝1，① 又a2＋b2＝25，② 由①②联立可得a2＝9，b2＝16， ∴双曲线的标准方程为－＝1. (2)解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 此方程无解． 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 解得即a2＝9，b2＝16. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 解法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵点M，N在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 感悟提升 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c(或m，n)代入所设方程即为所求． [跟踪训练2]　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 解　(1)∵椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)， 故可设双曲线的标准方程为－＝1. 由题意，知 解得 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)， ∴－＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. 题型三　双曲线的定义及标准方程的应用 例3　(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是____． [解析]　方程－＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1<k<1.故k的取值范围是(－1，1)． [答案]　(－1，1) (2)如图，F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． ①若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； ②若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△PF1F2的面积． [解]　因为双曲线的标准方程为－＝1， 故a＝3，b＝4，c＝＝5. ①由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2， 故点M到另一个焦点的距离为10或22. ②将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ＝＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 感悟提升 1.双曲线中的焦点三角形 双曲线上一点与双曲线的两个焦点构成的三角形称为焦点三角形，如本题中的△PF1F2. 2．求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)方法二：利用公式S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|(yP为点P的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题时，要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|之间的关系． [跟踪训练3]　(1)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围． 解　因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线， 所以即 所以m>5. 所以实数m的取值范围是(5，＋∞)． (2)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，求点P的坐标． 解　由双曲线的方程知a＝3，b＝4，c＝5，不妨设点P在第一象限，坐标为(xP，yP)，F1为左焦点，F2为右焦点， 那么 由①，得(|PF1|－|PF2|)2＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|·|PF2|＝32. 在直角三角形PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·yP＝32，所以yP＝， 代入双曲线的方程得，xP＝，即点P的坐标是， 再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，或. 随堂水平达标 1．动点P到点M(1，0)的距离与到点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 答案　C 解析　由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2＜4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．故选C. 2．若双曲线的一个焦点坐标为(0，－2)，且经过点(3，2)，则双曲线的标准方程为(　) A．x2－＝1 B.－x2＝1 C．y2－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　设P(3，2)，F1(0，－2)，F2(0，2)，则|PF1|＝5，|PF2|＝3，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝2，即a＝1，又双曲线的焦点在y轴上，∴该双曲线的标准方程为y2－＝1. 3．(多选)若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是(　) A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 答案　AD 解析　不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝，|PF2|＝；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.可以验证，对于B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有A，D中的|PF1|，|PF2|，|F1F2|能构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是＋＝1和x2－y2＝1. 4．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____． 答案　－y2＝1 解析　由题意可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由·＝0得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.又根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝±2a，两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，b2＝c2－a2＝5－4＝1.所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 5．已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程． 解　若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式． 由题意得2a＝24，2c＝26. 所以a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25. 此时双曲线的焦点在x轴上， 双曲线的标准方程为－＝1； 若以线段F1F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系． 此时双曲线的焦点在y轴上， 则双曲线的标准方程为－＝1. 课后课时精练 一、选择题 1．在方程mx2＋ny2＝n中，若mn<0，则方程表示(　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 答案　D 解析　方程可化为＋y2＝1，∵mn<0，∴<0.∴方程表示焦点在y轴上的双曲线． 2．已知方程－＝1表示双曲线，那么k的取值范围是(　) A．k>5 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 答案　B 解析　由于方程－＝1只需满足(k－5)与(|k|－2)同号，方程即能表示双曲线，所以(k－5)(|k|－2)>0，即或解得k>5或－2<k<2.故选B. 3．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为(　) A．17 B．16 C．20 D．16或20 答案　D 解析　双曲线8x2－y2＝8化为标准方程为x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6或|PF2|＝|F1F2|＝6，不妨设|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理，当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.故选D. 4．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)，因为|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，又|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|PM|≤|PF1|＋|MF1|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋2＋1＝9. 5．(多选)点P为双曲线C上一点，双曲线焦点F1，F2分别为椭圆＋＝1的顶点，且|PF1|－|PF2|＝4，则双曲线C的标准方程为(　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　AD 解析　依题意，椭圆的顶点为(±4，0)，(0，±2)，∴当双曲线的焦点在x轴上时，c＝4，又2a＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，双曲线C的标准方程为－＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，c＝2，又a＝2，∴b2＝c2－a2＝8，双曲线C的标准方程为－＝1.故选AD. 二、填空题 6．过点(－3，2)和(－6，－7)的双曲线的标准方程是____． 答案　－＝1 解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 7．已知双曲线－＝1上一点P到F(3，0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为____． 答案　1或5 解析　如图，当P在右支上时，F(3，0)是右焦点，F1(－3，0)是左焦点， ∵|PF1|－|PF|＝2a＝4，∴|PF1|＝10.∵＝(＋)，∴Q为PF的中点，则||＝|PF1|＝5.当P在左支上时，同理可得||＝1.综上所述，||的值为1或5. 8．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是____，△F1PF2的面积为____． 答案　　 解析　不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.sin∠F1PF2＝＝，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝. 三、解答题 9．已知双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点坐标是(－2，0)，求双曲线的标准方程． 解　∵3mx2－my2＝3， ∴mx2－y2＝1. ∵双曲线的一个焦点坐标是(－2，0)， ∴＋＝4， ∴m＝1. ∴双曲线的标准方程为x2－＝1. 10．已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程． 解　椭圆的方程可化为＋＝1， 所以|F1F2|＝2c＝2＝8， 又因为|PF1|－|PF2|＝4<8. 所以动点P的轨迹E是以F1(－4，0)，F2(4，0)为焦点， 2a＝4，a＝2的双曲线的右支， 由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12， 故动点P的轨迹E的方程为－＝1(x≥2)． 1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×64×＝16. 2．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 解　(1)椭圆的方程可化为＋＝1， 焦点在x轴上，且c＝＝， 故设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则有解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)不妨设点M在右支上， 则有|MF1|－|MF2|＝2， 又|MF1|＋|MF2|＝6， 解得|MF1|＝4，|MF2|＝2， 又|F1F2|＝2， 所以在△MF1F2中，边MF1最长， cos∠MF2F1＝＜0， 所以∠MF2F1为钝角，△MF1F2为钝角三角形． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$