2.4 点到直线的距离-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 （教师独具内容） 课程标准：1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.2探索并掌握平面上点到直线的距离公式.3.会求两条平行直线之间的距离. 教学重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线之间的距离公式的应用. 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程. 核心素养：通过研究两点间、点到直线及两平行线之间的距离公式，提升数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养. 核心概念掌握 知识点一　两点间的距离 已知平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝. 知识点二　点到直线的距离 点P0（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝. 知识点三　两条平行直线之间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 1.对两点间距离公式的几点说明 （1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝. （2）若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝. （3）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|. （4）若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|. 注意：（3）（4）在应用时，可根据实际情况去掉绝对值符号，解题更容易. 2.点到几种特殊直线的距离 （1）点P（x0，y0）到x轴的距离d＝|y0|； （2）点P（x0，y0）到y轴的距离d＝|x0|； （3）点P（x0，y0）到与x轴平行的直线y＝b（b≠0）的距离d＝|y0－b|； （4）点P（x0，y0）到与y轴平行的直线x＝a（a≠0）的距离d＝|x0－a|. 3.对两平行直线之间的距离公式的理解 （1）求两平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式. （2）利用公式求平行线之间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等. （3）当两直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决. ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1.判一判（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）当A，B两点的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式不适用.（　） （2）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（　） （3）点（m，n）到直线x＋y－1＝0的距离是.（　） （4）连接两条平行直线上两点，即得该两条平行线之间的距离.（　） （5）两条平行线之间的距离是两条平行线上两点间距离的最小值.（　） 答案　（1）×　（2）√　（3）×　（4）×　（5）√ 2.做一做 （1）已知点A（a，2）（a>0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（　） A. B.2－ C.－1 D.＋1 （2）点M（－3，4）到坐标原点的距离|OM|＝_________. （3）点P（1，2）到直线2x＋y－4＝0的距离等于_________. （4）两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0之间的距离等于_________. 答案　（1）C　（2）5　（3）0　（4）2 核心素养形成 题型一　两点间距离公式的应用 例1　（1）已知点A（2，1），点B（5，a），若|AB|＝，则a＝_________. [解析]　|AB|＝＝，解得a＝－1或3. [答案]　－1或3 （2）已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－7，0），B（2，－3），C（5，6），D（－4，9），判断这个四边形的形状. [解]　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形. 又kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形， ∵|AB|＝＝3， |AD|＝＝3， ∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形. 【条件探究】将本例（2）中D点坐标改为（0，21），判断此四边形的形状. 解　∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3， ∴AD∥BC，|AB|≠|CD|且AB⊥AD. ∴四边形ABCD为直角梯形. 感悟提升 1.关于两点之间的距离公式 （1）注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致. （2）运算结果要进行开方化简. 2.判断四边形与三角形形状的方法 （1）若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形. （2）利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状.解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用. [跟踪训练1]　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3），B（1，2），C（3，－4）， （1）判断△ABC的形状； （2）求BC边上的中线AM的长. 解　（1）∵|AB|＝＝， |BC|＝＝2， 又|AC|＝＝5， ∴|AB|2＋|BC|2＝|AC|2， ∴△ABC是直角三角形. （2）设点M的坐标为（x，y），∵点M为BC的中点，∴x＝＝2，y＝＝－1，即点M的坐标为（2，－1）. 由两点间的距离公式得 |AM|＝＝2， ∴BC边上的中线AM的长为2. 题型二　点到直线的距离 例2　（1）若点P（3，a）到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为（　） A. B.－ C.或－ D.或－ [解析]　由题意，得＝1，即|a－1|＝2，解得a＝或－.故选D. [答案]　D （2）已知P1（2，3），P2（－4，5）与点A（－1，2），若直线l过点A，且P1，P2到直线l的距离相等，求直线l的方程. [解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0. 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 【解法探究】本例（2）还有其他解法吗？ 解　因为l过点A，且P1，P2到直线l的距离相等，所以l有两种情况（如图所示）. ①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋3y－5＝0. ②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点（－1，4），此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 所以所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 感悟提升 点到直线的距离的求解方法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可. （2）对于与坐标轴平行或重合的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. （3）已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. [跟踪训练2]　（1）求点P0（－1，2）到下列直线的距离： ①2x＋y－10＝0；②x＋y＝2；③y－1＝0. 解　①根据点到直线的距离公式得 d＝＝2. ②直线方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝＝. ③因为直线y－1＝0平行于x轴， 所以d＝|2－1|＝1. （2）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，求实数m的值. 解　由＝， 得|3m＋5|＝|m－7|， 解得m＝－6或m＝. 故实数m的值为－6或. 题型三　两条平行直线之间的距离 例3　求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0间的距离为2的直线方程. [解]　由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0（C≠－1）， 则它与直线2x－y－1＝0的距离 d＝＝＝2， ∴|C＋1|＝2， 即C＝2－1或C＝－2－1. ∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 【解法探究】本例还有其他解法吗？ 解　解法一：设所求直线的方程为2x－y＋C＝0（C≠－1），在直线2x－y－1＝0上任取一点A（0，－1），点A（0，－1）到直线2x－y＋C＝0的距离为＝， 由题意得＝2， 解得C＝2－1或C＝－2－1. 故所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 解法二：设P（x，y）为所求直线上任意一点， 则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2， ∴2x－y－1＝±2. ∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 感悟提升 求两条平行直线之间的距离的两种思路 （1）利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. （2）直接利用两平行线之间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. [跟踪训练3]　两条平行直线l1，l2分别过P1（1，0），P2（0，5），若l1与l2之间的距离为5，求两直线的方程. 解　依题意，两直线的斜率存在， 设l1：y＝k（x－1），即kx－y－k＝0， l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2之间的距离为5， 所以＝5，解得k＝0或. 所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 题型四　距离公式的应用 例4　（1）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝_________. [解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，则△ABC的重心坐标为.设P（m，0），由反射原理，作点P关于直线BC：x＋y＝4的对称点P′（4，4－m），点P关于直线AC：x＝0的对称点P″（－m，0），那么RQ所在直线的方程为y＝（x＋m），代入重心坐标可得m＝或m＝0（舍去），所以P′，P″，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|P′Q|＋|QR|＋|RP″|＝|P′P″|＝＝. [答案]　 （2）已知点P（m，n）是直线3x＋4y－12＝0上的一点，求（m－1）2＋（n－2）2的最小值. [解]　解法一：因为点（1，2）到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝， 所以（m－1）2＋（n－2）2的最小值为＝. 解法二：因为P（m，n）是直线3x＋4y－12＝0上的一点， 所以3m＋4n－12＝0， 即n＝， 所以（m－1）2＋（n－2）2＝（m－1）2＋＝m2－m＋2. 所以当m＝＝时，（m－1）2＋（n－2）2有最小值. 感悟提升 距离公式应用的三种常见类型 　（1）求最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. [跟踪训练4]　（1）已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为_________. 答案　 解析　点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，∴d＝＝＝，S△ABC＝|AB|·d＝|AB|＝2， ∴|AB|＝＝. （2）已知直线l经过直线3x－y＋5＝0与x＋3y－5＝0的交点. ①若点A（1，1）到l的距离为2，求直线l的方程； ②求点A（1，1）到l的距离的最大值. 解　①解法一：联立⇒交点P（－1，2）. 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y－2＝k（x＋1）， 即kx－y＋k＋2＝0， ∴＝2，解得k＝. ∴直线l的方程为y－2＝（x＋1）， 即3x－4y＋11＝0； 当直线l的斜率不存在时，直线x＝－1也符合题意. 故直线l的方程为3x－4y＋11＝0或x＝－1. 解法二：设经过两条直线交点的直线系方程为3x－y＋5＋λ（x＋3y－5）＝0， 即（3＋λ）x＋（3λ－1）y＋5－5λ＝0， ∴＝2， 即39λ2＋14λ－9＝0， 解得λ＝或－. ∴直线l的方程为3x－4y＋11＝0或x＝－1. ②由解得交点P（－1，2）. 过P任意作直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）， ∴dmax＝|PA|＝. 随堂水平达标 1.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P（2，－1），则|AB|＝（　） A.5 B.2 C.4 D.2 答案　B 解析　根据点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P（2，－1），可得A（4，0），B（0，－2），因此|AB|＝＝2. 2.已知点A（1＋t，1＋3t）到直线l：y＝2x－1的距离为，则点A的坐标为（　） A.（0，－2） B.（2，4） C.（0，－2）或（2，4） D.（1，1） 答案　C 解析　（1＋t，1＋3t）到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝，解得t＝±1，当t＝1时，A（2，4），当t＝－1时，A（0，－2）.故选C. 3.（多选）若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程可以是（　） A.32x－56y＋65＝0 B.4x－8y＋9＝0 C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0 答案　AC 解析　由点P（x，y）到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，可得＝.∴32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.故选AC. 4.经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点距离为1的直线的条数为_________. 答案　2 解析　由可解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为（1，3）.又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k（x－1），整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，由点到直线的距离公式，得＝1，故有1＋k2＝9－6k＋k2，即9－6k＝1，得k＝.所以所求直线方程为y－3＝（x－1）.综上，满足条件的直线有2条. 5.已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：4x＋6y－5＝0，直线l∥l1∥l2，且直线l在直线l1与l2的正中间位置，求直线l的方程. 解　∵直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0， ∴可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0， 又直线l在直线l1与l2的正中间位置， ∴＝， 即|C＋2|＝|C＋5|，解得C＝－. ∴直线l的方程为4x＋6y－＝0， 整理得8x＋12y－7＝0. 课后课时精练 一、选择题 1.已知A（3，1），B（2，4），C（1，5），且点A关于点B的对称点为D，则|CD|等于（　） A.2 B.4 C. D. 答案　A 解析　设D（x，y），由题意知∴ ∴D（1，7）.∴|CD|＝＝2.故选A. 2.已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于（　） A.4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，所以－＝－，所以m＝4，经检验m＝4满足题意.所以6x＋my＋1＝0为6x＋4y＋1＝0，即3x＋2y＋＝0.所以两平行线之间的距离d＝＝. 3.直线l过点A（3，4），则点B（－3，2）与直线l的距离的最大值为（　） A. B.3 C.2 D.2 答案　C 解析　由已知可知，当l与AB垂直时，点B与直线l的距离最大，为|AB|＝ ＝2. 4.（多选）点P在直线x－y－1＝0上，且到直线3x＋y－5＝0的距离为，则点P的坐标可以是（　） A.（4，3） B.（－1，－2） C.（－3，－4） D.（2，1） 答案　AB 解析　设P（x，x－1），则d＝＝，即|4x－6|＝10，∴4x－6＝±10，∴x＝4或x＝－1，∴点P的坐标是（4，3）或（－1，－2）.故选AB. 5.已知点A（0，2），B（2，0），若点C在函数y＝x2的图象上，则使△ABC的面积为2的点C的个数为（　） A.4 B.3 C.2 D.1 答案　A 解析　设点C（t，t2），直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个. 二、填空题 6.若点（2，－k）到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是_________. 答案　－3或 解析　d＝＝，由题意知＝4，即＝1，得k＝－3或k＝. 7.若直线m被两条平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线m的倾斜角是____________. 答案　或 解析　如图，两平行线之间的距离为|AH|＝＝，直线m被平行线截得线段的长为|AB|＝|AC|＝2，由图知直线m与l1的夹角为，l1的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为＋＝或－＝. 8.已知M（x，y）是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则式子S＝的最小值为____________，此时点M的坐标为____________. 答案　　 解析　∵x2＋y2－2x－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2，∴上式可看成是一个动点M（x，y）到一个定点N（1，1）距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M（x，y）距离的平方.∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝.由得x＝y＝－，即此时点M的坐标为. 三、解答题 9.在△ABC中，已知点A（3，3），B（2，－2），C（－7，1），求∠A的平分线AD所在直线的方程. 解　设点M（x，y）为∠A的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB所在直线的方程为5x－y－12＝0. 由角平分线的性质可知，直线AD上任意一点到直线AC，AB的距离相等， 即＝， ∴x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12， 整理，得y＝－x＋6或y＝x. 结合图形，可知kAC<kAD<kAB，即<kAD<5， 则y＝－x＋6不符合题意，舍去. 故∠A的平分线AD所在直线的方程为y＝x. 10.已知正方形的中心为点M（－1，0），一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程. 解　M到直线x＋3y－5＝0的距离为 d＝＝， 设与x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋C＝0（C≠－5）， ∴＝，解得C＝7（C＝－5舍去）， ∴直线方程为x＋3y＋7＝0. 设另两条边所在直线的方程为3x－y＋m＝0， ∴＝，∴|m－3|＝6， 解得m＝－3或m＝9， 故另两条边所在直线的方程为3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0. 综上，正方形其他三边所在直线的方程为x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0. 1.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离. 解　如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离. 由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3. 由两平行线之间的距离公式，得l1与l3间的距离 d＝＝， 即点P到直线l3的距离为. 2.在△ABC中，点B（4，4），角A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋2＝0. （1）求点C的坐标； （2）求△ABC的面积. 解　（1）由题意知直线BC的斜率为－2， 又点B（4，4）， ∴直线BC的方程为y－4＝－2（x－4）， 即2x＋y－12＝0. 解方程组得 ∴点A的坐标为（－2，0）. 又∠A的内角平分线所在直线的方程为y＝0， ∴点B（4，4）关于直线y＝0的对称点B′（4，－4）在直线AC上， ∴直线AC的方程为y＝－（x＋2）， 即2x＋3y＋4＝0. 解方程组得 ∴点C的坐标为（10，－8）. （2）由（1）知|BC|＝＝6. ∵直线BC的方程是2x＋y－12＝0， ∴点A到直线BC的距离 d＝＝， ∴△ABC的面积是|BC|·d＝×6×＝48. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$