2.3 两条直线的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 2.3.2　两条直线的交点坐标 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据直线的斜率、方向向量、法向量判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 教学重点：1.理解直线平行或垂直的判定条件.2.能计算两直线的交点坐标． 教学难点：平行、垂直、交点问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定及求解两直线的交点坐标，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养． 核心概念掌握 知识点一　两条直线平行的判定 1．设在xOy平面上的两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，它们的方程分别是l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2． 如果直线l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有l1∥l2. 2．已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量．则l1∥l2⇔法向量平行⇔A1B2－A2B1＝0⇔A2＝λA1，B2＝λB1，λ为非零实数． 知识点二　两条直线垂直的判定 1．设在xOy平面上的两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1．若直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1⊥l2. 2．已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量．则l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0． 3．若已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2, 则(1，k1)，(1，k2)分别是l1，l2的方向向量．l1⊥l2⇔方向向量垂直⇔(1，k1)·(1，k2)＝1＋k1k2＝0⇔k1k2＝－1． 知识点三　两条直线的交点与直线的方程组解的关系 1．两条直线的交点坐标 如果两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点． 2．两条直线的位置关系 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则两条直线的位置关系如下表． 方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1，l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1，l2的位置关系 相交 平行 重合 1.两条直线相交的条件 （1）将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时，两直线相交. （2）设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠（A2B2≠0）. （3）设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 2.判断两直线关系的方法 （1）利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题. （2）利用斜截式方程中斜率和截距的关系. （3）利用一般式中系数的关系. 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ③l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1. 3.过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数，不包含l2）. 1.判一判（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等.（　） （2）若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行.（　） （3）若两条直线平行，则两条直线的倾斜角一定相等.（　） （4）若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.（　） （5）若两条直线的方程组成的方程组有解，则这两条直线相交.（　） 答案　（1）×　（2）√　（3）√　（4）×　（5）× 2.做一做 （1）直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为（　） A.（3，－5） B.（－3，5） C.（3，5） D.（－3，－5） （2）已知过A（－2，m）和B（m，4）的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（　） A.－8 B.0 C.2 D.10 （3）直线（m2＋1）x＋3y－3m＝0和直线3x－2y＋m＝0的位置关系是（　） A.平行 B.重合 C.相交 D.不确定 （4）若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a的值为_________. 答案　（1）C　（2）A　（3）C　（4）± 核心素养形成 题型一　两条直线平行的判定与应用 例1　（1）若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线l的方程为_________. [解析]　设直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0（λ≠5），令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－.由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，所以直线l的方程为2x＋3y－1＝0. [答案]　2x＋3y－1＝0 （2）判断下列各组中两条直线是否平行. ①l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0； ②l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； ③l1：（－1）x＋y＝3，l2：x＋（＋1）y＝2； ④l1：x＝5，l2：x＝6. [解]　①把l1的方程化为3x－y＋4＝0， 则A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1. 因为≠，所以l1与l2相交. ②把l1的方程化为y＝＋， 则k1＝k2，b1＝b2，所以l1与l2重合. ③把l1的方程化为（－1）x＋y－3＝0，把l2的方程化为x＋（＋1）y－2＝0， 则A1＝－1，B1＝1，C1＝－3；A2＝1，B2＝＋1，C2＝－2. 因为＝≠，所以l1∥l2. ④直线l1，l2的斜率都不存在，且在x轴上的截距不同，所以l1∥l2. 感悟提升 1.判断两条直线是否平行的方法 （1）设两条直线的方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若k1＝k2且b1≠b2，则l1∥l2. （2）若两条直线斜率不存在，且在x轴上的截距不同，则l1∥l2. （3）设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①若A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1（λ为非零实数）或＝≠（A2B2C2≠0），则l1∥l2； ②若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，则l1∥l2. 2.平行直线的求法 （1）求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m（m≠b），然后通过待定系数法，求参数m的值. （2）求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设直线方程为Ax＋By＋m＝0（m≠C），代入已知条件求出m即可. 其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论. [跟踪训练1]　（1）已知直线l1：y＝－x＋2a，l2：y＝（a2－2）x＋2，若l1∥l2，则a＝_________. 答案　－1 解析　由题意可知，直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.∵l1∥l2，∴解得a＝－1. （2）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），则顶点D的坐标为____________. 答案　（3，4） 解析　设顶点D的坐标为（m，n），由题意可得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以解得m＝3，n＝4.所以顶点D的坐标为（3，4）. 题型二　两条直线垂直的判定与应用 例2　判断下列各组中的直线l1，l2是否垂直. （1）l1：y＝2x＋3，l2：y＝x＋1； （2）l1：y＝－x，l2：6x－2y＋3＝0； （3）l1：2x＋y＝0，l2：2x－4y＋1＝0； （4）l1：x＝3，l2：y＝5. [解]　（1）k1k2＝2×＝1，则l1与l2不垂直. （2）把l2的方程化为y＝3x＋，则k1k2＝－×3＝－1，所以l1⊥l2. （3）A1A2＋B1B2＝2×2＋1×（－4）＝0，则l1⊥l2. （4）直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，所以l1⊥l2. 感悟提升 （1）判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直. （2）直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势. [跟踪训练2]　当a为何值时，直线l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0与直线l2：（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？ 解　解法一：由题意，知直线l1⊥l2. ①当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直； ②当2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直； ③当1－a≠0且2a＋3≠0时，直线l1，l2的斜率k1，k2存在，k1＝－，k2＝－. 当l1⊥l2时，k1k2＝－1， 即·＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， ∴（a＋2）（a－1）＋（1－a）（2a＋3）＝0， 解得a＝±1， ∴当a＝±1时，直线l1⊥l2. 题型三　平行与垂直的综合应用 例3　已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状. [解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行. 又kABkAD＝×（－3）＝－1， 所以AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 【条件探究】已知点A（0，3），B（－1，0），C（3，0），求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A，B，C，D按逆时针方向排列）. 解　设所求点D的坐标为（x，y），如图所示， ∵kAB＝3，kBC＝0， ∴kABkBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. ①若CD是直角梯形的直角腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3， 此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为（3，3）. ②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴·3＝－1，·＝－1. 即＝－，－·＝－1. 解得x＝，y＝，∴点D的坐标为. 综上可知，点D的坐标为（3，3）或. 感悟提升 （1）利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定. （2）由几何图形的形状求参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形. [跟踪训练3]　已知在▱ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）. （1）求点D的坐标； （2）试判定▱ABCD是否为菱形？ 解　（1）设点D的坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形， 所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得所以D（－1，6）. （2）因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 题型四　直线的交点问题 例4　（1）求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. [解]　解方程组 得 所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. （2）求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. [解]　解法一：解方程组得P（0，2）. ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，∴直线l的斜率为－. ∴直线l的方程为y－2＝－（x－0）， 即4x＋3y－6＝0. 解法二：设直线l的方程为（x－2y＋4）＋λ（x＋y－2）＝0， 即（λ＋1）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0， ∵直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直， ∴3（λ＋1）－4（λ－2）＝0，解得λ＝11. ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0， 即4x＋3y－6＝0. 感悟提升 求过两条直线交点的直线方程的两种方法 （1）求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. （2）若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷. [跟踪训练4]　已知直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点为P.求： （1）交点P的坐标； （2）过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程； （3）过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程. 解　（1）由解得 所以点P的坐标是（－2，2）. （2）因为所求直线与l3平行，所以可设所求直线的方程为x－2y＋m＝0（m≠－1）. 把点P的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m＝0，解得m＝6. 故所求直线的方程为x－2y＋6＝0. （3）因为所求直线与l3垂直， 所以可设所求直线的方程为2x＋y＋n＝0. 把点P的坐标代入上述方程，得2×（－2）＋2＋n＝0，解得n＝2， 故所求直线的方程为2x＋y＋2＝0. 随堂水平达标 1.平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是（　） A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋C＝0，故排除A，D.但C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故选B. 2.过点P（1，2）且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线在y轴上的截距为（　） A.3 B. C.5 D.－ 答案　B 解析　设直线方程为x－2y＋m＝0，将P（1，2）代入得m＝3，即x－2y＋3＝0，令x＝0，得y＝. 3.直线y＝kx＋3与直线y＝x－5的交点在直线y＝x上，则k＝____________. 答案　 解析　由题意可知，三条直线y＝kx＋3，y＝x－5，y＝x交于一点.显然k≠1，由得x＝y＝，代入y＝x－5，得＝·－5，得k＝. 4.已知直线l1：2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为____________. 答案　－3或2 解析　解法一：A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4；A2＝m，B2＝3，C2＝－2，若A2＝m＝0，此时直线l1：2x＋y＋4＝0，l2：3y－2＝0，显然l1不平行于l2，故m≠0.∵l1∥l2，∴＝≠，即＝≠.由＝，得m2＋m－6＝0，即m＝2或m＝－3，满足上式.∴m＝2或m＝－3. 解法二：当m＋1＝0时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝－，显然不满足l1∥l2这一条件.当m＋1≠0时，直线l1的方程化为y＝－x－，直线l2的方程化为y＝－x＋，∵l1∥l2，∴－＝－，且－≠，解得m＝－3或m＝2，且m≠－7.∴m＝－3或m＝2. 5.已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB且CB∥AD. 解　设点D的坐标为（x，y），由已知得直线AB的斜率kAB＝3，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－2，直线AD的斜率kAD＝. 由CD⊥AB且CB∥AD，得×3＝－1，－2＝，所以x＝0，y＝1，所以点D的坐标是（0，1）. 课后课时精练 一、选择题 1.直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（　） A.（2，0） B.（2，1） C.（0，2） D.（1，2） 答案　C 解析　解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（0，2）. 2.若直线ax＋y－1＝0与直线4x＋（a－3）y－2＝0垂直，则实数a的值为（　） A.－1 B.4 C. D.－ 答案　C 解析　由4a＋（a－3）＝0得a＝.故选C. 3.已知点A（－2，－5），B（6，6），点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为（　） A.（0，－6） B.（0，7） C.（0，－6）或（0，7） D.（－6，0）或（7，0） 答案　C 解析　由题意可设点P的坐标为（0，y）.因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在.又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，即·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为（0，－6）或（0，7）. 4.顺次连接A（－4，3），B（2，5），C（4，3），D（－2，1）四点所组成的图形是（　） A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.直角梯形 答案　C 解析　kAB＝＝，kCD＝＝，∴AB∥CD.又kAD＝＝－1，kBC＝＝－1，∴AD∥BC，又kAB·kAD≠－1，∴四边形ABCD为平行四边形. 5.（多选）三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a的值可能为（　） A.－1 B.－2 C. D. 答案　AD 解析　三条直线中有两条平行时，三条直线才可能有两个交点.易知x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0不平行.若x－2y＋1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝－1.若x＋3y－1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝.∴a的值为－1或. 二、填空题 6.已知△ABC，其顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，－1），则BC边上的高所在直线的方程为______________. 答案　x－2y＋1＝0 解析　∵kBC＝＝－2，∴高线所在直线的斜率为.又点A在此直线上，∴BC边上的高所在直线的方程为y－1＝（x－1），即x－2y＋1＝0. 7.直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为____________. 答案　 解析　由解得即两直线的交点坐标为.又交点在第四象限，则解得－<a<2. 8.已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m＝____________时，两直线平行；当m＝____________时，两直线垂直. 答案　±　0 解析　当m＝0时，l1与l2显然不平行.当m≠0时，l1的斜率k1＝－，在y轴上的截距b1＝－4，l2的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－.∵l1∥l2，∴k1＝k2，且b1≠b2，即－＝－，且－4≠－，∴m＝±. 综上可知，当m＝±时，两直线平行. 当m＝0时，l1显然与l2垂直.当m≠0时，l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－. ∵l1⊥l2，∴－·＝－1，此时无解. 综上可知，当m＝0时，两直线垂直. 三、解答题 9.已知△ABC的顶点A（5，1），M为边AB的中点，BH⊥AC于点H，直线CM的方程为2x－y－5＝0，直线BH的方程为x－2y－5＝0. （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的方程. 解　（1）因为直线BH的方程为x－2y－5＝0， 所以直线BH的斜率为，所以直线AC的斜率为－2. 又直线AC过点A（5，1），故直线AC的方程为y－1＝－2（x－5），即2x＋y－11＝0. 由得顶点C的坐标为（4，3）. （2）设B（a，b），则M在直线2x－y－5＝0上， 所以a＋5－－5＝0，即2a－b－1＝0. 又点B在直线x－2y－5＝0上，所以a－2b－5＝0. 由解得即B（－1，－3）. 于是直线BC的方程为＝，即6x－5y－9＝0. 10.已知A（－m－3，2），B（－2m－4，4），C（－m，m），D（3，3m＋2），若直线AB⊥CD，求m的值. 解　因为A，B两点的纵坐标不相等，所以AB与x轴不平行. 因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直， 所以－m≠3，即m≠－3. 当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4， 解得m＝－1. 当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1， 则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意. 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式，得 kAB＝＝， kCD＝＝. 因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1， 即·＝－1，解得m＝1. 综上，m的值为1或－1. 1.已知△ABC的顶点A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值. 解　①若∠A＝90°，则AB⊥AC，kAB·kAC＝－1，kAB＝＝－，kAC＝＝－.所以－×＝－1，所以m＝－7； ②若∠B＝90°，则BA⊥BC，kBA·kBC＝－1，kBC＝＝m－1，kBA＝－， 所以（m－1）×＝－1，所以m＝3； ③若∠C＝90°，则CA⊥CB，kCA·kCB＝－1，kCA＝－，kCB＝m－1，所以×（m－1）＝－1，所以m2＝4，所以m＝±2. 综上所述，m＝－2，2，－7，3. 2.已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0. （1）若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值； （2）若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值. 解　（1）显然m≠4，联立 解得 l1与l2的交点为， 将该点代入直线l3的方程有 2·－3m·－4＝0， 整理得3m2＋m－2＝0，解得m＝或－1. （2）因为l1，l2，l3不能围成三角形， ①当l1，l2，l3交于一点时， 由（1）知m＝或－1； ②当l1∥l2时，4－m＝0，解得m＝4； ③当l1∥l3时，由题意得，－12m－2＝0，解得m＝－； ④当l2∥l3时，由题意得，－3m2－2＝0，无解. 综上，实数m的值为－1，－，，4. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$