2.2.1 直线的点斜式方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 2.2.1　直线的点斜式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线的点斜式方程及斜截式方程的过程，提升逻辑推理素养和数学抽象素养． 核心概念掌握 知识点一　直线方程 用给定的条件，将直线上所有点的坐标(x，y)满足的共同关系表示出来，这就是直线方程． 知识点二　直线的点斜式方程 已知直线l的斜率为k，且l过已知点P0(x0，y0)，其直线方程为y－y0＝k(x－x0)． 由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把此方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x＝x0． 知识点三　直线的斜截式方程 经过点P(0，b)，斜率为k的直线方程为y＝kx＋b． 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，因此把此方程称为直线的斜截式方程，简称斜截式． 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线的点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)且不垂直于x轴的无数条直线． 2．对直线斜截式方程的理解 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负、可为零． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　) (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 (2)过点P(－1，2)，倾斜角为的直线的点斜式方程为____________． (3)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是____________，在y轴上的截距为____________． (4)斜率为2，过点A(0，3)的直线的斜截式方程为____________． 答案　(1)C　(2)y－2＝(x＋1) (3)－　2　(4)y＝2x＋3 核心素养形成 题型一　直线的点斜式方程 例1　(1)已知直线的方程为y－3＝－x＋5，则(　) A．该直线过点(－5，3)，斜率为－1 B．该直线过点(－5，－3)，斜率为1 C．该直线过点(5，3)，斜率为－1 D．该直线过点(5，－3)，斜率为1 [解析]　原方程可化为y－3＝(－1)(x－5)，即该直线的斜率为－1，且过点(5，3)，故选C. [答案]　C (2)求满足下列条件的直线的点斜式方程． ①过点(－1，2)且斜率为3； ②过点(－1，2)且与x轴平行； ③过点(－1，2)且与x轴垂直； ④已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为. [解]　①y－2＝3(x＋1)． ②y＝2. ③x＝－1. ④斜率k＝tan＝，AB的中点为(1，4)，则该直线的点斜式方程为y－4＝(x－1)． 感悟提升 直线的点斜式方程的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用点斜式表示直线方程，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0. [跟踪训练1]　(1)直线方程y－y0＝k(x－x0)(　 ) A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线 答案　D 解析　该直线方程为点斜式方程，斜率为k且一定存在，故不能表示垂直于x轴的直线，故选D. (2)求满足下列条件的直线方程． ①过点P(－4，3)，斜率k＝－3； ②过点P(3，－4)，且与x轴平行； ③经过点(－5，2)且平行于y轴； ④过点P(1，2)且与直线y＝2x＋1的斜率相等； ⑤过点P(4，－2)，倾斜角为； ⑥过两点A(1，3)，B(2，5)． 解　①∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，即y＝－3x－9. ②与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. ③∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在， ∴直线方程为x＝－5. ④由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1，2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. ⑤∵α＝，∴k＝tan＝－，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋－2. ⑥∵k＝＝2，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 题型二　直线的斜截式方程 例2　(1)(多选)下列四个说法中，正确的是(　) A．任何一条直线在y轴上都有截距 B．直线在y轴的截距一定是正数 C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线 D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1 [解析]　平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确；直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确；直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确；直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确． [答案]　CD (2)根据条件写出下列直线的斜截式方程． ①斜率为2，在y轴上的截距是5； ②倾斜角为，在y轴上的截距是－2； ③斜率为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　①由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. ②因为倾斜角为，所以直线的斜率为tan＝.由斜截式可得所求直线方程为y＝x－2. ③由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 感悟提升 直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． [跟踪训练2]　(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程． 解　易知k＝－1，b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2. (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程． 解　由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式为y＝－x＋4. (3)已知直线方程为y＋1＝－2(x－1)，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 解　直线方程y＋1＝－2(x－1)，可化为y＝－2x＋1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，与y轴交点的坐标为(0，1)． 随堂水平达标 1．下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是(　) A．x＝3 B．y＝3x－5 C．y－2＝3(x－1) D．x＝4y－1 答案　B 解析　由直线的斜截式方程的定义可知选B. 2．直线y＝k(x＋2)＋3必过一定点，该定点为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 答案　D 解析　直线方程可化为y－3＝k(x＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线的斜率为k，且过点(－2，3)． 3．(多选)方程y＝ax＋表示的直线可能是(　) 答案　AB 解析　易知a≠0，当a>0时，>0，即直线的斜率为正，直线在y轴上的截距为正，A符合；当a<0时，<0，即直线的斜率为负，直线在y轴上的截距为负，B符合．故选AB. 4．倾斜角为，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为____________． 答案　y＝－x－3 解析　∵所求直线的倾斜角为，∴它的斜率k＝tan＝－，又b＝－3，∴它的斜截式方程为y＝－x－3. 5．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(3，－4)； (2)在y轴上的截距为3. 解　设直线y＝－x＋5的倾斜角为α， 则直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－， ∴α＝. 故所求直线l的倾斜角为，斜率k′＝. (1)过点P(3，－4)，由点斜式方程， 得y＋4＝(x－3)， ∴y＝x－－4. (2)在y轴上的截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3. 课后课时精练 一、选择题 1．已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的定点、倾斜角分别为(　) A．(4，3)， B．(－3，－4)， C．(4，3)， D．(－4，－3)， 答案　A 解析　由直线的点斜式方程易知直线过点(4，3)，且斜率为，所以倾斜角为. 2．已知ab>0，bc>0，则直线ax＋by＝c经过(　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 答案　B 解析　把直线方程ax＋by＝c化为y＝－x＋，∵ab>0，bc>0，∴－<0，>0.故直线经过第一、二、四象限． 3．与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线l的斜截式方程是(　) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 答案　D 解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，∴直线l的斜率是－，∴直线l的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D. 4．已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　) A．－1 B．3 C．7 D．8 答案　C 解析　依题意，得kAB＝＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7. 5．(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　) A．y＝x＋3 B．y＝x－1 C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1 答案　BC 解析　由已知可得所求直线的倾斜角为或.所以所求直线的斜率k＝tan＝1或k＝tan＝－1.所以所求直线的方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，即y＝x－1或y＝－x＋3.故选BC. 二、填空题 6．若直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过点P(3，3)，则直线l的方程为____________． 答案　x＝3 解析　因为直线y＝x＋1的斜率为1，所以该直线的倾斜角为.所以直线l的倾斜角为.又直线l过点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3. 7．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若直线l在y轴上的截距为7，则m＝____________． 答案　4 解析　在直线l的方程y－m＝(m－1)(x＋1)中，令x＝0，得y＝2m－1.因为直线l在y轴上的截距为7，所以2m－1＝7.所以m＝4. 8．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，则直线l1的点斜式方程为________，把l1绕点P按顺时针方向旋转得直线l2，则直线l2的点斜式方程为________． 答案　y－2＝－(x＋1)　y－2＝－(x＋1) 解析　直线l1的点斜式方程是y－2＝－(x＋1)．∵k1＝－＝tanα1，∴α1＝.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转，得到直线l2的倾斜角为α2＝－＝，∴k2＝tan＝－，∴直线l2的点斜式方程为y－2＝－(x＋1)． 三、解答题 9．根据下列条件分别写出直线的方程． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)倾斜角为，在y轴上的截距为－2. 解　(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为y－3＝(x－5)，即y＝x＋3－5. (2)因为所求直线的倾斜角为， 所以所求直线的斜率为tan＝－1. 由斜截式方程，可知所求直线的方程为y＝－x－2. 10．已知直线经过两点A(2＋a2，1＋a2)，B(－1，－5)． (1)若a＝1，求直线AB的斜截式方程； (2)求当斜率kAB最大时，直线AB的点斜式方程． 解　(1)当a＝1时，A(3，2)， 则kAB＝＝. 设直线AB在y轴上的截距为b， 则y＝x＋b. 因为点B(－1，－5)在直线上， 所以－5＝×(－1)＋b，所以b＝－. 所以直线AB的斜截式方程为y＝x－. (2)kAB＝＝＝1＋， 当a2＝0时，kAB取得最大值2，直线AB的点斜式方程为y＋5＝2(x＋1)． 1．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程． (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为. 解　(1)由题意知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4(k≠0)， 当y＝0时，x＝－－3，当x＝0时，y＝3k＋4， 由已知，得＝6， 解得k＝－或－. ∴直线l的斜截式方程为y＝－x＋2或y＝－x－4. (2)设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l的斜截式方程是y＝x＋b，当y＝0时，x＝－6b，由已知，得|－6b·b|＝6， ∴b＝±1. ∴直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1. 2．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l过定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线l过定点(－2，1)． (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)． 当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$