1.3.2 等比数列与指数函数-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 1.3.2　等比数列与指数函数 (教师独具内容) 课程标准：1.体会等比数列与指数函数的关系.2.理解等比数列的性质并能应用其来解决问题.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.掌握等差数列与等比数列的综合应用问题． 教学重点：1.等比数列与指数函数的关系.2.等比数列的性质及其应用． 教学难点：1.利用等比数列解决实际问题.2.等差数列与等比数列的综合应用． 核心素养：1.通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升数学建模素养和数学运算素养． 核心概念掌握 知识点一　等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝·qn，可以看成自变量n取正整数值的函数，是一个非零常数c与指数函数y＝qx(指数函数的底数为公比)的乘积：y＝cqx.由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成等比数列的图象． (1)若a1>0，q>1，则函数y＝cqx递增，从而数列an＝a1qn－1递增； 若a1>0，0<q<1，则函数y＝cqx递减，从而数列an＝a1qn－1递减． (2)若a1<0，q>1，则函数y＝cqx递减，从而数列an＝a1qn－1递减； 若a1<0，0<q<1，则函数y＝cqx递增，从而数列an＝a1qn－1递增． (3)若q＝1，则等比数列各项都为常数a1. (4)若q<0，则等比数列是摆动数列，既不递增也不递减． 知识点二　等比数列的项与序号的关系及性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 知识点三　等比数列的常用结论 1．若{an}是公比为q的等比数列，则 (1){can}(c是非零常数)是公比为q的等比数列． (2){|an|}是公比为|q|的等比数列． (3){a}(m为常数，m∈N＋)是公比为qm的等比数列． 2．若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 1．等比数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列． (3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列． 2．等比数列与等差数列的区别与联系 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项之差． (2)a1和d可以为零． (3)等差中项唯一 (1)强调每一项与前一项之比． (2)a1与q均不为零． (3)等比中项有两个值 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系． (2)结果都必须是同一个常数． (3)数列都可以由a1，d或a1，q确定 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}(a>0，a≠1)为等差数列． (2)若{an}为等差数列，则{ban }(b≠0)为等比数列 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){an}是等比数列，若m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am·an＝ap.(　) (2)若等比数列{an}的公比为1，则{an}是常数列．(　) (3)若数列{an}是等比数列，当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an，ap也成等差数列．(　) (4)如果数列{an}为等比数列，a1>0，则数列{an}是递增数列．(　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为(　) A．35 B．63 C．21 D．±21 (2)等比数列{an}中，a5a7a9＝27，则a7＝____________． (3)在等比数列{an}中，若a3＝，a5＝，则a11＝____________． (4)若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝____________． 答案　(1)B　(2)3　(3)　(4)256 核心素养形成 题型一　等比数列的单调性 例1　已知数列{an}是等比数列，则“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的(　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　当a1＝－1，a2＝2，q＝－2时，a1<a2，但数列{an}不是递增数列，反之，当数列{an}是递增数列时，必有a2>a1，所以“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B. [答案]　B 感悟提升 等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列． [跟踪训练1]　设{an}是公比为q的等比数列，则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的(　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　若a1<0，0<q<1，则{an}为递增数列，所以充分性不成立；若{an}为递减数列，则可能a1<0，q>1，所以必要性不成立．故选D. 题型二　等比数列的性质 例2　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　) A．5 B．7 C．6 D．±5 [解析]　解法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，a4a5a6＝a＝()3＝5.故选A. 解法二：因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)，即a4a5a6＝±5.因为an>0，所以a4a5a6＝5.故选A. [答案]　A (2)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 [解析]　解法一：a5a2n－5＝a＝22n，注意到an>0，所以an＝2n，于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故选C. 解法二：a1a2n－1＝a3a2n－3＝…＝a＝22n， 所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n2＝n2.故选C. [答案]　C 感悟提升 运用等比数列的性质应注意的问题 运用等比数列的性质am·an＝ak·al＝a(m，n，k，l，t∈N＋)的关键是发现各项的序号之间满足关系m＋n＝k＋l＝2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆． [跟踪训练2]　在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11等于(　) A．10 B．25 C．50 D．75 答案　B 解析　运用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq，可得a8a11＝a9a10＝a7a12＝5，所以a8a9a10a11＝25.故选B. 题型三　灵活设项求解等比数列 例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数． [解]　解法一：从前三个数入手，设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件得 解得或 当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 解法二：从后三个数入手，设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件得 解得或 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 解法三：从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y，12－y，16－x， 由已知得 解得或 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 【变式探究】若将本例中“和是16”改为“积为－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？ 解　设这四个数依次为－aq，，aq，aq3(q≠0)． 则由已知得 由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4. 由②得2a2q2－a2q4＝－128. 将a2＝16代入整理，得q4－2q2－8＝0， 解得q2＝4或q2＝－2(舍去)，∴q＝2或q＝－2. ∴所求四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32. 感悟提升 在解决与等比数列有关的问题时常用的设元技巧 对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． [跟踪训练3]　有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数． 解　由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4， 设前三个数依次为4－d，4，4＋d，由于后三个数成等比数列，则第四个数为， 因为后三个数之和为19，则4＋(4＋d)＋＝19， 整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14. 若d＝2，则这四个数为2，4，6，9； 若d＝－14，则这四个数为18，4，－10，25. 因此，这四个数为2，4，6，9或18，4，－10，25. 随堂水平达标 1．已知递减的等比数列{an}中，a1>0，则该数列的公比q的取值范围是(　) A．q＝1 B．q<0 C．q>1 D．0<q<1 答案　D 解析　递减的等比数列{an}中，a1>0，则该数列的公比q的取值范围是0<q<1. 2．已知甲、乙两车间的月产值在2024年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加的产值相同，乙以后每个月比前一个月增加的产值的百分比相同．而2024年7月份两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2024年4月份的月产值的大小，则有(　) A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．不确定 答案　A 解析　设甲以后每个月比前一个月增加的产值为a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间在2024年1月份的月产值均为m，则m＋6a＝m(1＋x)6　①.在2024年4月份甲的产值为m＋3a，乙的产值为m(1＋x)3，由①知(1＋x)6＝1＋，则在2024年4月份乙的产值为m＝，因为(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0，所以m＋3a>，即2024年4月份甲的产值大于乙的产值．故选A. 3．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是(　) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 答案　AC 解析　对于A，由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；对于B，由上可知an－n＝4n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，故B错误；对于C，log2(an－n)＝log24n－1＝log222(n－1)＝2n－2，所以{log2(an－n)}是等差数列，故C正确；对于D，log4an＝log4(4n－1＋n)，既不是等差数列，又不是等比数列，故D错误．故选AC. 4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝____________． 答案　－ 解析　∵＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，∴＋＋＋＝＝＝－. 5．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1，3，9就成为等比数列，求这三个数． 解　设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则由题设得 解得或 又a－d，a，a＋d为正数， ∴不符合题意舍去，∴ ∴所求三个数为3，5，7. 课后课时精练 一、选择题 1．若a1，a2，a3，…为等差数列，则数列2a1，2a2，2a3，…一定是(　) A．等比数列 B．等差数列 C．既是等比数列又是等差数列 D．既不是等比数列，也不是等差数列 答案　A 解析　∵对n∈N＋，＝2an＋1－an，又a1，a2，a3，…为等差数列，∴an＋1－an为常数， 2an＋1－an也为常数，∴{2an }一定是等比数列．故选A. 2．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8a10a12等于(　) A．16 B．32 C．64 D．256 答案　C 解析　由已知，得a1a19＝16，又a1a19＝a8a12＝a，∴a8a12＝a＝16，又an>0，∴a10＝4，∴a8a10a12＝a＝64. 3．数列{an}是各项为正的单调递减的等比数列，且a1＋a2＋a3＝3，则首项a1的取值范围是(　) A．(0，3) B．(0，1) C．(3，9) D．(1，3) 答案　D 解析　由题意，0<q<1，由a1＋a2＋a3＝3，得a1＝，因为0<q<1，所以1<1＋q＋q2<3，所以1<a1<3. 4．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有(　) A．a3＋a9≤b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10 C．a3＋a9<b4＋b10 D．a3＋a9>b4＋b10 答案　B 解析　解法一：∵数列{an}为各项均为正数的等比数列，∴a＝a3a9.由基本不等式可知a3＋a9≥2，则a3＋a9≥2a6.又a6＝b7，∴a3＋a9≥2b7.∵数列{bn}是等差数列，∴b4＋b10＝2b7，则a3＋a9≥b4＋b10. 解法二：设an＝a1qn－1，bn＝b1＋(n－1)d，∴(a3＋a9)－(b4＋b10)＝(a1q2＋a1q8)－(b1＋3d＋b1＋9d)＝a1q2＋a1q8－2(b1＋6d)＝a1q2＋a1q8－2b7.∵a6＝b7，∴(a3＋a9)－(b4＋b10)＝a1q2＋a1q8－2a1q5＝a1q2(1＋q6－2q3)＝a1q2(1－q3)2≥0.∴a3＋a9≥b4＋b10. 5．(多选)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数，其中是“保等比数列函数”的为(　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln |x| 答案　AC 解析　设数列{an}的公比为q(q≠0)．对于A，＝＝q2，是常数，故A符合“保等比数列函数”的定义；对于B，＝＝2an＋1－an，显然当公比q≠1时，上式不是常数，故B不符合“保等比数列函数”的定义；对于C，＝＝＝，是常数，故C符合“保等比数列函数”的定义；对于D，＝，显然当公比q≠±1时，上式不是常数，故D不符合“保等比数列函数”的定义． 二、填空题 6．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，则a4＋a8＝____________． 答案　2 解析　∵a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，∴a＋a＝48，a4a8＝6，因此(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝60.又{an}的各项均为正数，∴a4＋a8＝2. 7．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝____________． 答案　2 解析　由a2＝2，a4－a3＝4，得方程组 整理，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又因为{an}是递增等比数列，所以q＝2. 8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝____________． 答案　16 解析　∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，又b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16. 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a4＝，a3＋a5＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的公比大于1，且bn＝log3， 求证数列{bn}为等差数列，并求其前n项和Sn. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 则q≠0，＋a4q＝. 因为a4＝，所以＋q＝，解得q＝或q＝3. 当q＝时，a1＝18，所以an＝18×＝2×33－n； 当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－5. (2)由(1)及数列{an}的公比大于1， 得q＝3，an＝2×3n－5， 所以bn＝log3＝log33n－5＝n－5， 所以bn－bn－1＝1(常数)． 又因为b1＝log3＝－4， 所以数列{bn}是首项为－4，公差为1的等差数列． 所以Sn＝＝n2－n. 10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q. (1)求an与bn； (2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求实数λ的取值范围． 解　(1)由已知可得整理得q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)，从而a2＝6， 所以an＝3n，bn＝3n－1. (2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n. 由题意知cn＋1>cn对任意的n∈N＋恒成立，即3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n恒成立，即λ·2n<2·3n恒成立，即λ<2·恒成立． 因为函数y＝是增函数， 所以＝2×＝3，故λ<3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)． 1．已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝anan＋1(n∈N＋)． (1)若数列{an}是等比数列，试求数列{bn}的通项公式； (2)当数列{bn}是等比数列时，甲同学说：数列{an}一定是等比数列；乙同学说：数列{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解　(1)因为数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a. 所以a≠0，an＝an－1. 又bn＝anan＋1， 则b1＝a1a2＝a，＝ ＝＝＝a2， 即数列{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列， 于是bn＝a(a2)n－1＝a2n－1. (2)甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设数列{bn}的公比为q， 则＝＝＝q且a≠0， 又a1＝1，a2＝a，所以a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列，即数列{an}为1，a，q，aq，q2，aq2，…. 当q＝a2时，数列{an}是等比数列；当q≠a2时，数列{an}不是等比数列． 2．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围． 解　(1)设数列{an}的公比为q. 由题意可得an＝8qn－1，且0<q<1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3， 所以64q＝30＋8q2，解得q＝或q＝(舍去)， 所以an＝8×＝24－n. (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)×24－n， 由bn>bn＋1，得(n＋2－λ)×24－n>(n＋3－λ)×23－n，即λ<n＋1， 所以λ<(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2)． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$