精品解析：山东省济南市莱芜区胜利中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

2023-2024学年山东省济南市莱芜区胜利中学 七年级（上）期中数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段，能组成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 5cm，6cm，10cm C. 1cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，8cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断． 【详解】解：A、3+2=5，不能组成三角形，故选项错误； B、5+6＞10，能组成三角形，故正确； C、1+1＜3，不能组成三角形，故错误； D、4+3＜8，不能组成三角形，故错误． 故选B． 【点睛】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A. B. 是的高线 C. 是的角平分线 D. 是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，可得出，根据等腰三角形三线合一可得出是的高线，是的角平分线． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是的高线，是的角平分线，是中线， ∴， ∵， ∴， 无法判断是等边三角形，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 4. 如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角顶点加一根加固木条，则木条长为（ ） A. 90厘米 B. 100厘米 C. 105厘米 D. 110厘米 【答案】B 【解析】 【分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答． 【详解】设这条木板的长度为x厘米，由勾股定理得：x2=802+602，解得：x=100厘米． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，注意细心运算即可． 5. 如图1是玩具拼图模板的一部分，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和完全重合的是（　　） A. 甲和丙 B. 丙和乙 C. 只有甲 D. 只有丙 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：利用即可判定甲三角形与全等，所以甲三角形能和完全重合； 中的角为a和c的夹角，而乙三角形为c的邻角，所以乙三角形与不全等，即乙三角形不能和完全重合； 利用即可判定丙三角形与全等，所以丙三角形能和完全重合． 故选A． 6. 如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则三角形是直角三角形． 根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，即可得出答案． 【详解】正方形小方格边长为1， ，， ， 网格中的是直角三角形 故选A． 7. 如图，在中，，D、E分别是上的点，要使，应补充条件（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，不能证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，不能利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，能利用证明，故C符合题意； 添加条件，结合，，不能证明，故D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ） A. 65° B. 50° C. 60° D. 57．5° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD＝DF， ∵D是AB边的中点， ∴AD＝BD， ∴BD＝DF， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝65°， ∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 考点：翻折变换（折叠问题） 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 9. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可以判断；证明可以判断；由同角的余角相等可以判断；由，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小． ∵DC＝2，BD＝6， ∴BC＝8， 连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°， ∴∠CBC′＝90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC＝BC′＝8， 根据勾股定理可得DC′＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 【答案】25或7##7或25 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是， ②当是斜边时，则第三边的平方是． 故答案为：25或7． 12. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 13. 如图，是的中线，E是的中点，连接，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求三角形的面积，先根据三角形的中线求出，同理求出答案即可． 【详解】∵是的中线，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 故答案为：1． 14. 如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°， ∴∠ABC=∠DAE， ∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)， ∴BC=AE，AC=ED， 故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16， 即正方形b的面积为16. ， 点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键. 15. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据少走的路为即可求得结果． 【详解】解： ，，， ， 少走的路为， 2步为1米， 少走了（步）， 故答案为：8． 16. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共10小题，共86分） 17. 如图，方格图中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B、C都在格点上． （1）画出关于直线对称的． （2）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，网格中求三角形面积： （1）根据轴对称图形的画法画图即可； （2）根据根据网格的特点和三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意得， 18. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证． 【详解】∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ∴BC=EF， ∴BC﹣CE=EF﹣CE， 即BE=CF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质． 19. 如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行线的性质以及角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质以及角平分线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 20. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，求滑道AC的长. 【答案】5米 【解析】 【分析】设AC的长为x米，表示出AE=（x﹣1）米，利用在Rt△ACE中AC2=CE2+AE2，列出方程求解即可． 【详解】设AC的长为x米． ∵AC=AB，∴AB=AC=x米． ∵EB=CD=1米，∴AE=（x﹣1）米． 在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，即：x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴滑道AC的长为5米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 21. 如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC=10cm，求△DAF的周长． 【答案】（1）40°（2）10 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，然后代入数据进行计算即可得解； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD=BD，AF=CF，然后求出△ADF周长等于BC，从而得解． 试题解析：（1）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°， ∵DE、FGQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AF=CF，∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C， ∴∠DAF=∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAF=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°； （2）∵DE、FGQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AF=CF， ∴△ADF周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC， ∵BC=10，∴△APQ周长=10． 考点：线段垂直平分线的性质． 22. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】（1） （2）梯子的底端B在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 23. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 24. 如图，，，，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，是一个以为斜边的直角三角形？ 【答案】当C离点B时，是以为斜边的直角三角形 【解析】 【分析】设时，是以为斜边的直角三角形，在中，，在中，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设时，是以为斜边的直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得． ∴当C离点B时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 25. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由 （2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长 【答案】（1）AE＝BD，见解析；（2）13 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD； （2）由全等三角形的性质可得BD=AE=12，∠CAE=∠CBD=45°，由勾股定理可求DE的长． 【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD 在△ACE和△BCD中 ∵EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC， ∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴AE＝BD； （2）如图， 由（1）可知：△ACE≌△BCD， ∴BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°， ∴∠EAD＝90°， 在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2， 即52＋122＝ED2 ∴DE＝13； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE≌△BCD是本题的关键． 26. （1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 【答案】（1）全等；理由见解析；（2）；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据等角对等边证明，再根据证明三角形全等即可； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出； （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，证明，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：全等；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）；理由如下： 延长，交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年山东省济南市莱芜区胜利中学 七年级（上）期中数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段，能组成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 5cm，6cm，10cm C. 1cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，8cm 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A. B. 是的高线 C. 是的角平分线 D. 是等边三角形 4. 如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角顶点加一根加固木条，则木条长为（ ） A. 90厘米 B. 100厘米 C. 105厘米 D. 110厘米 5. 如图1是玩具拼图模板的一部分，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和完全重合的是（　　） A. 甲和丙 B. 丙和乙 C. 只有甲 D. 只有丙 6. 如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 7. 如图，在中，，D、E分别是上的点，要使，应补充条件（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ） A. 65° B. 50° C. 60° D. 57．5° 9. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 12. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____． 13. 如图，是的中线，E是的中点，连接，若，则________． 14. 如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________． 15. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 16. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为________． 三．解答题（本大题共10小题，共86分） 17. 如图，方格图中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B、C都在格点上． （1）画出关于直线对称的． （2）求出的面积． 18. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 19. 如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数． 20. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，求滑道AC的长. 21. 如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC=10cm，求△DAF的周长． 22. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 23. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，，，，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，是一个以为斜边的直角三角形？ 25. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由 （2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长 26. （1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $