精品解析：福建省莆田市城厢区莆田擢英中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

擢英中学2025届九年级期初返校考试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. y＝3x＋1 B. y＝3x2﹣6 C. D. y＝﹣2x3＋x﹣1 2. 下列各线段的长度成比例的是（ ） A. 2cm，5cm，6cm，8cm B. 1cm，2cm，3cm，4cm C. 3cm，6cm，7cm，9cm D. 3cm，6cm，9cm，18cm 3. 如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （ ） A B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 5. 如图是一位同学设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）米． A. B. C. D. 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出的小分支数目是（　 　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2a， 则AD的长是（ ） A. (－1)a B. (＋1)a C. a D. a 8. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知点，点在抛物线上，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 无法比较 10. 如图，正方形的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线的图象经过点B，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题4分） 11. 二次函数图象的顶点坐标是____________． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 13. 如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 __________________． 14. 已知点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系为___________（用“>”连接） 15. 如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 16. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点，若，，则_______． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解下列方程： 18. 如图，抛物线与轴交于、两点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上．求的面积． 19. 如图，在中，的平分线分别与、交于点、． （1）求证：； （2）当时，求的值． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围． 21. 已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点， （1）求抛物线的解析式． （2）当时，直接写出y的取值范围． 22. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ 23. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件． （1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由． 24. 在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 25. 如图，抛物线经过点，交轴于、两点，是抛物线上一动点，平行于轴的直线经过点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，轴上有点，连接，设点到直线的距离为，．小明在探究的值的过程中，是这样思考的：当是抛物线的顶点时，计算的值；当不是抛物线的顶点时，猜想是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图2，点在第二象限，分别连接、，并延长交直线于、两点．若、两点横坐标分别为、，试探究、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 擢英中学2025届九年级期初返校考试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. y＝3x＋1 B. y＝3x2﹣6 C. D. y＝﹣2x3＋x﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如的函数，判断即可． 【详解】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意； B、该函数二次函数，故本选项符合题意； C、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意； D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 下列各线段的长度成比例的是（ ） A. 2cm，5cm，6cm，8cm B. 1cm，2cm，3cm，4cm C. 3cm，6cm，7cm，9cm D. 3cm，6cm，9cm，18cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例的线段的定义，即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴选项A、B、C均不符合题意， ， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题． 3. 如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为， 故选：C． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 5. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．首先证明，可得，再代入相应数据可得答案． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， 故选：D． 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出的小分支数目是（　 　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1=91， 解得：x=9或x= -10（不合题意，应舍去）； ∴x=9； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程． 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2a， 则AD的长是（ ） A. (－1)a B. (＋1)a C. a D. a 【答案】A 【解析】 【分析】利用两组对应角相等证明，设，再根据相似三角形的性质列式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 8. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 9. 已知点，点在抛物线上，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特点，判断点，点在抛物线对称轴的距离位置，即可比较大小． 详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴 ∴在y轴右侧，y随x增大而增大 ∵ ∴ 故选：B． 10. 如图，正方形的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线的图象经过点B，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及正方形的性质，全等三角形的性质与判定：根据正方形性质，通过证明，得，得出点B的坐标，再代入，即可作答． 【详解】解：如图，过点C作轴于点，过点作的延长线上： ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∵过点C作轴于点， ∴， 即， 则， ∴， ∵点B在第四象限， 即点B的坐标为， 把代入， 即， ∴， 故选：D 二．填空题（共6小题，每题4分） 11. 二次函数图象的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，利用抛物线的顶点式直接得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵， 顶点坐标为． 故答案：． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 13. 如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 __________________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 14. 已知点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系为___________（用“>”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性以及增减性等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，进而可得当时，随的增大而减小，由此即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而减小， ∵关于直线的对称点是，且， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 16. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据菱形的性质得，，，在中根据得，，则，进而得，，从而得，然后证和相似可得则的值． 【详解】解：设， 四边形为菱形， ，， 和为直角三角形，且， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形相似的额判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解下列方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，抛物线与轴交于、两点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，由抛物线的解析式容易得出点A，点B坐标和顶点C坐标；再根据三角形面积计算得出结果． 【详解】解：中，当时，， ∴的坐标为， ∴， 在中，当时，， ，， ， ∴． 19. 如图，在中，的平分线分别与、交于点、． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【详解】解：（1）如图，在中，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． （2） ∴△∽△， ∴， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求得方程两根，再结合条件判断即可． 【小问1详解】 证明：依题意，得， ∵， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：． ， 得，， ∵方程有一个根是正数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 21. 已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点， （1）求抛物线的解析式． （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图像和性质． （1）由题意可得抛物线的解析式为：，然后将点代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当时，随的变化情况，据此即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线，当时，有最大值， 抛物线的解析式为：， 抛物线过点， ， 解得， 此抛物线的解析式． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，，此时最大值， 当时，，此时为最小值， 当时，y的取值范围时． 22. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用． 根据正方形的性质，根据相似三角形的性质得到比例关系式，代入数据求解即可； 【详解】设与的交点为，如图所示 ∵矩形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 答：若这个矩形是正方形，那么边长是； 23. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件． （1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）每件应降价4元 （2）不可以获得3000元的利润，见解析 【解析】 【分析】（1）设每件应降价x元（0＜x≤10且x为整数），则每件盈利（44﹣x）元，每天可售出（20+5x）件，利用每天获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）不可以，设每件应降价y元（0＜y≤10且y为整数），则每件盈利（44﹣y）元，每天可售出（20+5y）件，利用每天获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣96＜0，即可得出此方程无实数根，进而可得出每天不可以获得3000元的利润． 【小问1详解】 解：设每件应降价x元（0＜x≤10且x为整数），则每件盈利（44﹣x）元，每天可售出（20+5x）件， 依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：x2﹣40x+144＝0， 解得：x1＝4，x2＝36（不合题意，舍去）． 答：每件应降价4元． 【小问2详解】 解：每天不可以获得3000元的利润，理由如下： 设每件应降价y元（0＜y≤10且y为整数），则每件盈利（44﹣y）元，每天可售出（20+5y）件， 依题意得：（44﹣y）（20+5y）＝3000， 整理得：y2﹣40y+424＝0， ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×424＝﹣96＜0， ∴此方程无实数根， ∴每天不可以获得3000元的利润． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记当Δ＜0时，方程无实数根． 24. 在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 【答案】（1）垂直；见解析 （2）成立，见解析 （3） 【解析】 【分析】此题综合性强，考查了全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形性质等知识点． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即； （2）过点作交于点，可得出，同理可证，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 解：与位置关系是垂直； 证明如下： ，， ． ∴， 由正方形得，， ， ， ， ． ． ． ． 【小问2详解】 时，的结论成立． 理由是： 过点作交于点， ， ， ， 同理可证： ，， 即． 【小问3详解】 如图①，当时， 过点作交于点，可得， 同理可证， ，．即． 过点作交的延长线于点， 如图②，点在线段上运动时， ， ∴． ，， ， ， ． 如图③，点在线段延长线上运动时， ， ， ． 过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，抛物线经过点，交轴于、两点，是抛物线上一动点，平行于轴的直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，轴上有点，连接，设点到直线的距离为，．小明在探究的值的过程中，是这样思考的：当是抛物线的顶点时，计算的值；当不是抛物线的顶点时，猜想是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图2，点在第二象限，分别连接、，并延长交直线于、两点．若、两点的横坐标分别为、，试探究、之间的数量关系． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点． （1）将代入抛物线，求出a的值即可得 （2）过点作轴于点，设，在中，由勾股定理得，据此知，继而知，结合可得的值； （3）过点作于点，交轴于点，证得，设，知，据此可得，同理用含的式子表示，从而得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ， 证明：如图1，过点作轴于点， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 过点作于点，交轴于点，如图2， ∵抛物线与轴交于点，， ∴、， 直线轴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $