精品解析：河南省光山县慧泉中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2025届九年级上期九月份数学学科素养评价试卷 一、选择题：（本题共15小题，每小题3分，共45分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是(　　) A. ax2-x+2=0 B. x2-2x-3=0 C. D. 5x2-y-3=0 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a＞﹣2 C. a＞1且a≠0 D. a＞﹣1且a≠0 6. 已知点，，都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 7. 当时，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C D. 9. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）． A 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 10. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分共15分） 11. 一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____． 12. 已知抛物线经过和两点，则的值为__________． 13. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是________． 14. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是_____． 15. 已知抛物线，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的坐标为 ____________________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是2，请求好的值及方程的另一个根． 18. 已知抛物线对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 19. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 20. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点．且有．顶点为D点． （1）求A、B点坐标． （2）求这个抛物线解析式． （3）将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 22. 在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：________，________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，． （1）求a，b，c的值； （2）连接，求的面积； （3）点P在y轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届九年级上期九月份数学学科素养评价试卷 一、选择题：（本题共15小题，每小题3分，共45分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是(　　) A ax2-x+2=0 B. x2-2x-3=0 C. D. 5x2-y-3=0 【答案】B 【解析】 【详解】A. ax2-x+2=0，当a=0时不是一元二次方程，故错误；B. x2-2x-3=0，是一元二次方程，正确；C. ，分母中含有字母，是分式方程，故错误；D. 5x2-y-3=0，含有两个未知数，是二元二次方程，故错误，故选B. 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．根据抛物线的顶点解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：顶点式顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键． 5. 已知关于x一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a＞﹣2 C. a＞1且a≠0 D. a＞﹣1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围． 【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0， 解得：a＞﹣1且a≠0， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 6. 已知点，，都函数上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，能够熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 先判断出二次函数的开口和对称轴，再通过比较三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：的对称轴为，函数图像开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大 ∵ ∴ 故选：A ． 7. 当时，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 9. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）． A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数关系式，确定对称轴和顶点坐标，画出草图，即可得出答案． 【详解】∵二次函数的对称轴是，顶点坐标是（2，-2），画出草图，如图所示， ∴当时，y有最小值-2， 当时，y有最大值7． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，主要是二次函数的最值问题，数形结合是本题的关键． 10. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分共15分） 11. 一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____． 【答案】x1=﹣1，x2=2 【解析】 【详解】解：方程可化为：， ∴或， ∴. 故答案为. 12. 已知抛物线经过和两点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据（-2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴的x=，即可求出b，于是可求n的值. 【详解】解：抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x=1， ∴=1， ∴b=2； ∴y=-x2+2x+4， 将点（-2，n）代入函数解析式，可得n=-4； 故答案是：-4． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 13. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是根据题意得到． 根据题意得到，推得，代入即可求出代数式的值． 【详解】解：依题得：， ， ． 故答案为：． 14. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解： ， ，，， 从而得到一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 15. 已知抛物线，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的坐标为 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，点到直线的距离，解一元二次方程，正确理解题意列方程是解题的关键．设点，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，根据题意列方程，当时，求得，可得点P的坐标；当时，求得，可得点P的坐标． 【详解】设点， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 则， 当时，， 解得，（舍去）， ； 当时，， 解得，（舍去）， ； 终上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 ，， ，； 【小问3详解】 则，即 解得，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法，公式法、因式分解法以及配方法． 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是2，请求好的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把方程的一个根为2代入关于的一元二次方程求出，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程， ，，， ． 无论为任意实数， 原方程总有两个不等的实数根． 【小问2详解】 解：是方程的一个根， ， 解得：， 原方程变为， 设方程的另一个根为， ， ． ，方程的另一个根为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 18. 已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1） （2）有最小值，最小值为1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； 小问2详解】 解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 19. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）6，1692 （2）， （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 销售量增加：件， 当天盈利：（元）． 故答案为：6；1692． 【小问2详解】 ∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元． 故答案为，； 【小问3详解】 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ∴． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点．且有．顶点为D点． （1）求A、B点坐标． （2）求这个抛物线解析式． （3）将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，二次函数的平移． （1）根据二次函数的解析式得抛物线对称轴为直线，设点A坐标为，根据得点B坐标为，即可得，解得，即可得点A坐标为，点B坐标为； （2）将代入解得，即可得到抛物线解析式； （3）由上题知：抛物线顶点D坐标为，则将点向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点D，即可得平移后解析式． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点A坐标为， ∵， ∴点B坐标为， ∴， ， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； 【小问2详解】 解：将代入， 得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：抛物线的顶点D坐标为， ∵将向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点， ∴平移后的抛物线解析式为． 22. 在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：________，________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）秒或秒； （3）存在秒，使得五边形的面积等于． 【解析】 【分析】（）根据题意列式即可求解； （）根据勾股定理构建出方程即可求解； （）由题意可得，再根据矩形和五边形的面积可得的面积为，进而由三角形的面积可得，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，利用含的代数式表示各自线段的关系，并根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由勾股定理得，， 解得，， ∴当秒或秒时，的长度等于； 【小问3详解】 解：存在秒，能够使得五边形的面积等于，理由如下： 当点运动到点时，两点停止运动， ∴ ， ∵ 长方形的面积为， 当五边形的面积等于时，的面积为， ∴， 解得，(不合题意，舍去)， ∴存在秒，使得五边形的面积等于． 23. 如图，抛物线与直线两个交点分别为，． （1）求a，b，c的值； （2）连接，求的面积； （3）点P在y轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设直线与y轴交于点C，先求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）设点P的坐标为，可得，根据的面积是面积的2倍，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把，代入得： ，解得：； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴交于点C， 由（1）得：直线的解析式为， 当时，， ∴点，即， ∴； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴，即， 解得：或6， ∴点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$