精品解析：河南省周口市项城市 莲溪初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024−2025学年度上期九年级第一次月考数学试题（2） 考试范围：1−2章；考试时间：100分钟；总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 用配方法解方程时，应将其变形为( ) A. B. C. D. 2. 四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 一定有两个实数根 B. 一定有两个不相等的实数根 C. —定没有实数根 D. 不能确定 4. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 5. 小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ） A. 小明、小亮都正确 B. 小明正确，小亮错误 C 小明错误，小亮正确 D. 小明、小亮都错误 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形ABCD的高AH的值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 对于任意实数，多项式的值是一个（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 不能确定 8. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（ ） A. S=2 B. S=2.4 C. S=4 D. S与BE长度有关 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在估算一元二次方程x2＋12x－15＝0的根时，小彬列表如下： x 1 1.1 12 1.3 x2＋12x－15 －2 －0.59 0.84 229 由此可估算方程x2＋12x－15＝0一个根x的范围是________． 12. 已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为___. 13. 如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BC上一点，分别作P点到直线AB．AD的垂线段PE．PF，则等于______． 14. 如图，两张宽为的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形，已知度，则重叠部分的面积是________． 15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 三、解答题 16. 若关于的方程是一元二次方程，求不等式的解集． 17. 已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由. 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 21. 如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 22. 已知：如图，在中，AB=AC，，垂足为点D，AN是外角的平分线，，垂足为点E，连接DE交AC于点． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． （3）在（2）的条件下，若，求正方形ADCE周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年度上期九年级第一次月考数学试题（2） 考试范围：1−2章；考试时间：100分钟；总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 用配方法解方程时，应将其变形为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方即可. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查的是解一元二次方程的配方法，配方法要先把二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方是关键. 2. 四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺． 【详解】解：对角线互相垂直且相等，但不互相平分的四边形不是菱形、矩形、正方形， 因为这三种四边形的对角线都互相平分 故选:D 【点睛】考查了对四边形性质与判定的综合运用,特殊四边形之间的相互关系是考查重点． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 一定有两个实数根 B. 一定有两个不相等的实数根 C. —定没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断. 【详解】∵方程可变形为，，∴方程一定有两个实数根．故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可． 【详解】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确； 对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确； 对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确； 对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确； 故选D． 【点睛】考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键． 5. 小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ） A. 小明、小亮都正确 B. 小明正确，小亮错误 C. 小明错误，小亮正确 D. 小明、小亮都错误 【答案】B 【解析】 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：AB=BC是一组邻边相等，故正确，符合题意； AC=BD是一组对角线相等，故错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的判定，常见的判定方法有：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3.四条边相等的四边形是菱形． 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形ABCD的高AH的值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AH的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8， ∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO， ∴BC==5， ∵=AC•BD=BC•AH， ∴AH=， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分． 7. 对于任意实数，多项式的值是一个（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】配方可得：x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x-1）2+2≥2. 【详解】x2-2x+3， =x2-2x+1+2, =（x-1）2+2, 因为一个数的平方大于等于零， 所以原式≥2， 故选A. 【点睛】本题考核知识点：配方的应用. 解题关键点：掌握配方的方法. 8. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1870元的利润，即售价定为每个元，销售量为个，结合获得的利润为1870元，可列方程． 【详解】解：根据题意可得：， 即： 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 9. 菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD菱形， ∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵AC是菱形的对角线， ∴∠ACF∠DCB＝60°， ∴∠B=∠ACF， ∵AB=AC，BE=CF， ∴△ABE≌△ACF， ∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF， ∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC， 即∠EAF＝∠BAC=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∵EF＝2， ∴S△AEF×22， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到△AEF是等边三角形，牢记等边三角形面积公式是解题关键． 10. 如图，正方形的边长为，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（ ） A. S=2 B. S=2.4 C. S=4 D. S与BE长度有关 【答案】A 【解析】 【分析】连接FB，根据已知可得到⇒△ABC与△AFC是同底等高的三角形，由已知可求得△ABC的面积为大正方形面积的一半，从而不难求得S的值． 【详解】解：连接FB， ∵四边形EFGB为正方形 ∴∠FBA＝∠BAC＝45°， ∴FB∥AC， ∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形， ∵2S△ABC＝S正ABCD，S正ABCD＝2×2＝4， ∴S＝2 故选A． 【点睛】本题利用了正方形的性质，内错角相等，两直线平行的判定方法，及同底等高的三角形的面积相等的性质求解． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在估算一元二次方程x2＋12x－15＝0的根时，小彬列表如下： x 1 1.1 1.2 1.3 x2＋12x－15 －2 －0.59 0.84 2.29 由此可估算方程x2＋12x－15＝0一个根x的范围是________． 【答案】1.1＜x＜1.2 【解析】 【分析】根据表格中的数据，可以发现：x=1.1和x=1.2时，x2+12x-15的值都比较接近0；且x=1.1时x2+12x-15<0，x=1.2时, x2+12x-15>0，从而可确定一元二次方程x2+12x-15的一个根x的范围. 【详解】根据表格中的数据，可知： x=1.1时，x2+12x-15=-0.59，x=1.2时，x2+12x-15=0.84. 所以，方程的一个根x的范围是：1.1＜x＜1.2. 故答案为1.1＜x＜1.2 【点睛】本题主要考查的是估算一元二次方程的近似根.解答此类题要细心观察表格中的对应数据，找出与y=0相近的数对，即可找到x的取值范围. 12. 已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为___. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可． 【详解】解：设另一根为a， 则，解得， 故答案为：1． 13. 如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BC上一点，分别作P点到直线AB．AD的垂线段PE．PF，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80， ∴AB=AD=10，S△ABD=40， ∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF， ∴×AB×PE+×PF×AD=40， ∴×10（PE+PF）=40， ∴PE+PF=8． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出×AB×PE+×PF×AD=S△ABD是解题关键． 14. 如图，两张宽为矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形，已知度，则重叠部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意可得AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=1cm，∠BCD=60°，证得四边形ABCD是平行四边形，再Rt△BCF中求得BC的长，再由平行四边形的面积公式即可求得重叠部分的面积. 【详解】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F， 根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=1cm，∠BCD=60°， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BCD=60°， ∴∠CBF=30°， ∴BC=2CF， ∵BC2=BF2+CF2， ∴BC=cm， ∴AD=cm， ∴重叠部分的面积为：AD·BE=×1=. 故答案为. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，作出辅助线求得BC的长是解决本题的关键. 15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 【答案】22.5° 【解析】 【详解】四边形ABCD是矩形， AC=BD，OA=OC，OB=OD， OA=OB═OC， ∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∠EAC=2∠CAD， ∠EAO=∠AOE， AE⊥BD， ∠AEO=90°， ∠AOE=45°， ∠OAB=∠OBA=67.5°， 即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°． 三、解答题 16. 若关于方程是一元二次方程，求不等式的解集． 【答案】． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，且，故可求出m的值，代入不等式即可求解. 【详解】∵关于的方程是一元二次方程， ∴，且， ∴，且， ∴． ∴不等式可化为， 解得． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点. 17. 已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）1，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根； （2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数，结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中， △=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0， ∴对于任意实数t，方程都有实数根； （2）解：设方程的两根分别为m、n， ∵方程的两个根互为相反数， ∴m+n=t﹣1=0， 解得：t=1． ∴当t=1时，方程的两个根互为相反数． 【点睛】考点：根与系数的关系；根的判别式. 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）两边直接开平方得出方程的解； （2）先移项，然后利用配方法求出方程的解； （3）首先将方程转化为一般式，然后利用公式法得出方程的解； （4）首先将方程进行移项，然后利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 ， 即，； 【小问2详解】 ， 即，； 【小问3详解】 化为一般式为：， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 ， 即：，或者， ∴，． 【点睛】本题考查了采用公式法、直接开平方法、配方法、因式分解求解一元二次方程的解的知识，掌握相应的计算求解方法是解答本题的关键． 19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【解析】 【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 21. 如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】（1）5秒 （2）秒 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理， 对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可； 对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解. 【小问1详解】 当运动时间为t秒时，，，依题意，得 ， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； 【小问2详解】 过点Q作于点M，如图所示． ∵，， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 22. 已知：如图，在中，AB=AC，，垂足为点D，AN是外角的平分线，，垂足为点E，连接DE交AC于点． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． （3）在（2）的条件下，若，求正方形ADCE周长． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形ADCE是一个正方形；理由见解析 （3）8 【解析】 【分析】（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ ∠CAE=（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA，根据矩形的判定，可得答案； （ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案； （ 3 ）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，，垂足为点D， ∴． ∵AN是外角的平分线， ∴． ∵与是邻补角， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形ADCE为矩形； 【小问2详解】 解：当时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴AD=CD． ∵四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE为正方形； 【小问3详解】 解：由勾股定理，得 ，AD=CD， 即， ∴AD=2， 正方形ADCE周长． 【点睛】本题考查了的正方形的判定与性质，（1）利用了等腰三角形的性质，矩形的判定；（2）利用了正方形的判定；（3）利用了勾股定理，正方形的周长，灵活运用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$