精品解析：贵州省遵义市务川仡佬族苗族自治县汇佳中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024-2025学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可. 【详解】依题意，，解得， 将数据从小到大排列可得：， 又，则分位数为. 故选：C. 2. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域化简集合，再利用补集、并集的定义求解即得. 【详解】由，得，因此，， 而，所以. 故选：D 3. 如图所示，用符号语言可表述为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言. 【详解】由图形可知，，，或表示为，. 即A正确. 故选：A 4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 96 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可. 【详解】 如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切化弦，通分即可求解. 【详解】因为，因为，所以. 故选：A. 6. 以下说法正确的是（ ） A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个 B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行 C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则 D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个 【答案】D 【解析】 【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A；举例说明即可判断BC；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D. 【详解】A：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A错误； B：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行， 当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B错误； C：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C错误； D：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个， 且这两个平面分别在的异侧，故D正确. 故选：D 7. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 圆柱的体积，圆锥的体积， 所以. 故选：B. 8. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 圆柱的底面是圆面 B. 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C. 圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可. 【详解】A：圆柱的底面是圆面，故A正确； B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确； C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误； D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为， 选项A：，所以的图象关于直线对称，A说法正确； 选项B：，所以的图象关于点对称，B说法正确； 选项C：当时，，因为在单调递增，所以在区间上单调递增，C说法错误； 选项D：当时，，因为在的值域为， 所以在区间的值域为，D说法正确； 故选：ABD 11. 在棱长为6的正方体中，，，则（ ） A. 平面截正方体所得截面为梯形 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 从点出发沿正方体的表面到达点的最短路径长为 D. 若直线与平面交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过找公共点的方式，把平面与正方体的交线作出，即可.对于B，四面体的外接球以为直径，即可求出表面积.对于C，把左侧面与后侧面的展开图，即可.对于D，结合选项A，记平面与直线，的交点，进行相似比计算即可. 【详解】对于选项A，如图1所示，CE在底面内延长与DA的延长线相交，该点在截面内，连接该点与F点，与相交于H点，与的延长线交于一点，该点在后侧面内，再次连接该点与C点交于G点，连接,则该截面形状为五边形，故A错误； 对于选项B，四面体的外接球以为直径，即，则表面积，故B正确； 对于选项C，因该几何体为正方体，点到点的最短路径，考察的是侧面展开图的问题，可以右侧面与上底面展开，是两个正方形合一起，可以是下底面与左侧面展开，也是两个正方形合一起，只能是左侧面与后侧面的展开图，为一个正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路径最短如图2所示，，故C正确； 对于选项D，结合选项A，记平面与直线，的交点分别为，，如图3所示，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】解设复数，根据复数定义和纯虚数定义，直接求解参数即可. 【详解】由题设，（，）， 则， 所以，，故. 故答案为： 13. 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用球的体积公式，结合长方体外接球知识解题. 【详解】设球的半径为，长方体外接球的直径长等于长方体体对角线长， 即，故， 所以． 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： （1）、、、四点共面； （2）、必相交且交点在直线上． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【小问1详解】 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. 【小问2详解】 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，． （1）求证：平面． （2）求三棱柱的表面积； 【答案】（1） 连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为，所以底面，均为直角三角形． 因为，，所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 【答案】（1） 由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （2） 由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为： ①；②；③. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1）所选条件见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；若选②：利用正弦定理边化角即可结果；若选③：利用三角恒等变换分析求解； （2）利用余弦定理分析求解. 【小问1详解】 若选①：因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 且，所以； 若选②：因为，由正弦定理可得， 且，则，可得， 且，所以； 若选③：因为， 则，可得 且，则，可得， 且，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又， 即，解得. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】（1）（i）312；（ii）； （2），. 【解析】 【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积. （2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 （i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. 【小问2详解】 设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 2. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，用符号语言可表述为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 96 D. 128 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法正确的是（ ） A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个 B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行 C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则 D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个 7. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 圆柱的底面是圆面 B. 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C. 圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间的值域为 11. 在棱长为6的正方体中，，，则（ ） A. 平面截正方体所得截面为梯形 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 从点出发沿正方体的表面到达点的最短路径长为 D. 若直线与平面交于点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________. 13. 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为__________． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： （1）、、、四点共面； （2）、必相交且交点在直线上． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，． （1）求证：平面． （2）求三棱柱的表面积； 17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 18. 在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为： ①；②；③. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $