精品解析：贵州省遵义市汇川区周林高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

遵义周林高中2025-2026学年度第一学期1月考试 高二数学试题 （出题人：曾广恒 审卷人：李明株 试题满分：150分 作答时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数求出定义域化简集合B，再利用并集的意义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故选：A. 3. 将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得． 故选：B 4. 角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义及正切的二倍角公式计算即可. 【详解】由三角函数的定义知， 所以根据正切的二倍角公式有. 故选：A 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解． 【详解】，则是单位向量， 由，，，得，， ， 在上的投影向量为， 故选：A． 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得或与相交，所以A不正确； 对于B，由，可得或，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，所以C正确； 对于D，在如图所示的正方体中，设平面为平面，平面为平面， 则，再设为直线，为直线，则平面，此时，所以D不正确. 故选：C 7. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 8. 已知函数的定义域为为奇函数，且函数的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先根据为奇函数得出的对称中心，再根据的图象关于直线对称得出的对称轴，进而推出的周期，最后根据函数性质求出、、、的值。 【详解】因为为奇函数，所以，令， 则，即.令,得，且关于点中心对称， 因为的图象关于直线对称， 令，所以， 又，即, 令，则，说明关于直线轴对称， 由轴对称，中心对称， 得，令，则， 进而，即，即周期为12， 由和周期，得， 所以，, ， ， 所以、、的值不一定为0， ，故. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ） A. B. 的渐近线方程是 C. 的焦距为 D. 的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的值，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程是，B正确； 对于C，的焦距为，C错误； 对于D，的离心率为，D正确. 故选：ABD 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的图像关于点对称 D. 在有3个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可 【详解】， 对A，最小周期为，故也为周期，故A正确； 对B，当时，为的对称轴，故B正确； 对C，当时，，又为的对称点，故C正确； 对D，则， 解得，故在内有共四个零点，故D错误 故选：ABC. 11. 如图，圆锥内有一个内切球，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B. 平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据球的表面积公式以及圆锥侧面积公式即可判断A，根据平面，结合圆锥曲线的性质即可判断B，根据锥体的体积公式即可判断C，根据垂直关系，结合勾股定理以及基本不等式即可判断D. 【详解】连接， 正内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上，为边长为2的等边三角形，所以， 则球的半径，所以球的表面积， 圆锥的侧面积，球的表面积与圆锥的侧面积之比为，故A正确； , 所以，是边，的中点， ，平面，平面， 平面，平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故B正确； 由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 即,，故C错误； 依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， 由，是边，的中点，可得，，， 则有，即，因此， 由均值不等式得：，即， 当且仅当时取“”，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线 的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程，即可求得准线. 【详解】抛物线的标准方程为，且 解得，所以准线方程为. 故答案为： 13. 圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由点在圆上，求得，结合圆的性质，得到切线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解． 【详解】由题意知，焦点， 设存在定点，使得点在圆上运动时，均有， 设，则， 由，知， 联立两式，消去可得， 令，则，满足上式， 所以， 所以， 当且仅当，三点共线时，等号成立， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题的难点在于在轴上找到点，使得，从而，利用三点共线即可完成，属于难题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，求得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，由余弦定理，列出方程，求得，进而求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，可得，所以，所以． 【小问2详解】 解：由（1）知， 因为的面积为，可得，解得， 又由余弦定理， 将及代入得，所以， 则的周长为． 16. 为了解某校学生物理学习情况；从高一上学期期末物理考试成绩中，随机抽取了200名学生，记录他们的物理成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级物理成绩的众数和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率. 【答案】（1），众数为85，平均分为77.5 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，可得答案，再利用平均数估计值的计算，可得答案. （2）利用分层抽样，确定每组的具体人数，结合枚举法，根据古典概型，可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得. 物理成绩的众数为85，估计物理成绩的平均分为：. 所以，众数为85，平均分为77.5. 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为a，b， 在中随机抽取了人，记为c，d，e， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点，因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为. 17. 已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且 （1）求C的方程; （2）若直线与C交于A，B两点，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义，可得a值，根据条件，可求得，即可得C的方程. （2）将直线l与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，求得两根，代入弦长公式，即可得答案. 【小问1详解】 由双曲线的定义得，解得， 设焦距，则， 因为与x轴垂直，所以点P的横坐标为c，设点P的纵坐标为， 因为点P在双曲线C上，所以，解得， 因与x轴垂直，且，所以，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 将直线l与双曲线C联立，得， 解得， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. （1）证明：平面 平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 因为四边形是矩形， 所以，， 因为，，平面， 所以平面，平面， 因为平面 ，所以平面 平面 . 小问2详解】 由（1）可知，是直角三角形， 所以， 中，， 所以是直角三角形，即， 因为，平面， 所以平面， 即两两互相垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量可以为， 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及点在椭圆上，利用待定系数法可得椭圆方程； （2）①由已知可得直线方程，联立直线与椭圆，根据弦长公式可得，再根据点到直线距离可得面积；②设，与椭圆联立可得点坐标，同理可设，得点坐标，再根据，，三点共线，可得，即可得最值. 【小问1详解】 由已知椭圆的离心率为，即，化简可得， 则椭圆方程为， 又椭圆过点，则， 解得， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 设，， ①由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； ②设，即 联立直线与椭圆， 消去可得， 则， 解得， 且，， 又，则， 所以， 同理可设，即可得， 又，，三点共线，则， 即，化简可得，即 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以当且仅当时等号成立， 综上所述的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义周林高中2025-2026学年度第一学期1月考试 高二数学试题 （出题人：曾广恒 审卷人：李明株 试题满分：150分 作答时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 将一个半径为3铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ） A. B. C. D. 4. 角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数的定义域为为奇函数，且函数的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ） A. B. 的渐近线方程是 C. 的焦距为 D. 的离心率为 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的图像关于点对称 D. 在有3个零点 11. 如图，圆锥内有一个内切球，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B. 平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线 的准线方程为________. 13. 圆在点处的切线方程为______. 14. 已知抛物线焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 为了解某校学生物理学习情况；从高一上学期期末物理考试成绩中，随机抽取了200名学生，记录他们的物理成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级物理成绩的众数和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率. 17. 已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且 （1）求C方程; （2）若直线与C交于A，B两点，求 18. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. （1）证明：平面 平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆 离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $