精品解析：江西省上饶市蓝天教育集团2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度蓝天蓝高二数学第一次月考试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小. 【详解】解：由直线得直线的斜率 又直线的倾斜角为，且，所以，得 故选：B. 2. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 3. 已知两条直线，若与平行，则实数（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】直线平行，则， 所以. 故选：A 4. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 5. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 6. 圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，. 故选：B. 7. 若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 8. 已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得，进而可得的面积最小值. 【详解】由圆，得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为 所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小， 故， 所以， 即的面积最小值为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，分别设直线方程，代入点的坐标，即可求解. 【详解】当直线过原点时，设直线，则，得， 即，整理为， 当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等时，设直线， 则，得，方程为， 当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相反时，设直线， 则，得，方程为. 故选：ACD 10. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断． 【详解】由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误； 记点为， ， 当时弦长最短，最短弦长为，当直线过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确． 故选：ACD． 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线上两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线内部（不含边界），则 C. 若曲线与直线有公共点，则 D. 若曲线与圆有公共点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A：作出的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值； B：根据直线与的交点坐标进行判断； C：根据直线与相切时的取值进行判断； D：分析临界情况：经过与坐标轴的交点、与在四个象限相切，由此求解出的范围. 【详解】当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，；当时， 作出在平面直角坐标系下的图象如下图： 对于A：上任意两点距离的最大值为，故A错误； 对于B：因为在直线上，所以，所以或， 若点在曲线内部（不含边界），则有，故B正确； 对于C：当直线与相切时，如下图所示： 若与在第二象限相切时，则到的距离等于圆的半径， 所以，所以或（舍）， 若与在第四象限相切时，则到的距离等于圆的半径， 所以，所以或（舍）， 结合图象可知曲线与直线有公共点时有，故C正确； 对于D：如下图所示： 因为与坐标轴的交点坐标为， 所以当刚好经过与坐标轴的交点时，此时， 当刚好与在四个象限都相切时，， 所以曲线与圆有公共点时，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用，难度较大.数形结合是处理本题的高效方法，通过在图象上对临界位置的分析，得到直线与相切以及圆与相切时参数的取值. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 13. 直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为___________； 【答案】或 【解析】 【分析】设出直线，利用直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况讨论分析. 【详解】由题知，圆， 化为标准方程：， 则圆心，半径为， 设直线为，即， 若不存在，则直线为，符合题意； 若存在，则，解得， 所以直线为， 综上，直线的方程为或. 故答案为：或 14. 已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，求点关于直线对称的点为B，结合两点连线距离最短分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径， 则， 即， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即，    因为，则，当且仅当A，B，P三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知坐标平面内三点，，． （1）求直线AB的斜率和倾斜角； （2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标． 【答案】（1）直线AB的斜率为，倾斜角； （2） 【解析】 【分析】（1）由A，B的坐标可得直线AB的斜率及倾斜角； （2）由平行四边形利用向量相等，可得D的坐标. 【小问1详解】 因为，，可得， 所以可得倾斜角为； 【小问2详解】 ，，． 设，若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限， 可得，即，解得， 即点D的坐标为 16. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系得到关于的方程，求解出的值并进行检验； （2）根据垂直关系得到关于的方程，由此求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，解得或， 当时，重合，舍去， 当时，，符合题意， 故. 【小问2详解】 因为， 所以， 解得. 17. 已知关于方程：． （1）当何值时，方程表示圆； （2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【小问1详解】 由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. 【小问2详解】 由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 18. 一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动： （1）运输车将在无人区经历多少小时？ （2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？ 【答案】（1）5小时 （2）800km 【解析】 【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果； （2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果. 【小问1详解】 以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从出发，点处开始进入无人区，到处离开无人区，则圆方程为，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线的斜率，则，即，因为到的距离为, 则， 所以经历时长为小时. 【小问2详解】 设运输车至少应离火山口出发才安全， 此时运输车的行驶直线刚好与圆相切， 且直线方程，即， 则到直线的距离，解得， 即运输车至少应离火山口出发才安全. 19. 已知圆：和圆：． （1）若圆与圆相交，求r的取值范围； （2）若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得，从而可求出r的取值范围； （2）设，，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值． 【小问1详解】 圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． 【小问2详解】 已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度蓝天蓝高二数学第一次月考试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则直线斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线，若与平行，则实数（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 4. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A. B. C. D. 7. 若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的面积最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线过点，则下列说法正确是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线上两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线内部（不含边界），则 C 若曲线与直线有公共点，则 D. 若曲线与圆有公共点，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 13. 直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为___________； 14. 已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为_____________. 四、解答题 15. 已知坐标平面内三点，，． （1）求直线AB的斜率和倾斜角； （2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标． 16 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 17. 已知关于的方程：． （1）当为何值时，方程表示圆； （2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 18. 一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动： （1）运输车将在无人区经历多少小时？ （2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？ 19. 已知圆：和圆：． （1）若圆与圆相交，求r取值范围； （2）若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $