精品解析：安徽省六安市毛坦厂中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2024~2025学年度高三年级九月份月考 数学试卷（历届） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.命题范图：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，三个二次及其关系，函数与基本初等函数，一元函数的导数及其应用. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A 33 B. 35 C. 37 D. 39 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 8. 若函数存在极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ） A. B. 函数在区间单调递增 C. 函数是奇函数 D. 函数的一个解析式为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知，且，则（ ） A B. C. 最大值为 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备____________台． 13. 已知函数的零点在区间上，则______. 14. 已知对任意，都有，则实数的取值范围为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 17. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程的解的个数． 18 设函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，试判断零点的个数； （Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值. 19. 定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0） （1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域； （2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由； （3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度高三年级九月份月考 数学试卷（历届） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.命题范图：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，三个二次及其关系，函数与基本初等函数，一元函数的导数及其应用. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p的否定形式. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为，． 故选：C． 2. 已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值结合对数函数的单调性判定充分性及必要性即可. 【详解】对于充分性：取，，则，， 所以“”不是“”的充分条件； 对于必要性：当时，，所以，即， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 4. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论. 【详解】因为， 所以. 因为，所以，所以，所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 6. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 7. 已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数对称性和函数图像确定的值即可. 【详解】绘制函数的图像如图所示， 由题意可知值分别为图中点点的横坐标， 则的值分别为图中点点的纵坐标， 注意到反函数图像关于直线对称，设直线与的交点为， 易知，结合对称性可知. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查反函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 若函数存在极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后，对进行分类讨论，分、、以及四种情况讨论即可求解. 【详解】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ） A. B. 函数在区间单调递增 C. 函数是奇函数 D. 函数的一个解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项. 【详解】A项：因为， 当时，，令， 则，解得，A正确； B项：任取：， 则， 因为当时，， 所以，， 所以，即， 所以函数在区间单调递增，B正确； C项：令，则， 解得或，当，且时，令， 则， 若为奇函数，则，即， 解得，与题意矛盾； 当时不为奇函数． 综上所述，函数不是奇函数，C错误； D项：当， 则， ， 所以，易得在上单调递增， 所以时，，， 故函数的一个解析式为，D正确． 故选 :ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将用表示，并求出的范围，根据双勾函数的性质即可判断A；根据对数的运算性质及二次函数的性质即可判断B，令，则，即，从而可得，再结合二次函数的性质即可判断C；易得，再结合双勾函数的性质即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 对于A，，令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 即，故A正确； 对于B，， 由，得，所以， 即，故B正确； 对于C，令，则， 即，即， 则， 由，得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，即的最大值为，故C正确. 对于D，， 令，则， 则， 令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：令，结合换底公式得出，是解决C选项的关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备____________台． 【答案】400 【解析】 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论：； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论：； 3、 13. 已知函数的零点在区间上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意有函数在为增函数，再结合，即可得解值. 【详解】由题意有函数在为增函数， 又， ， 即， 则函数的零点在区间上， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的零点，考查了分析能力和计算能力，属基础题. 14. 已知对任意，都有，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先将不等式转化为，再利用对数的运算法则转化为，构造函数，应用导数研究函数的单调性得到其在单调递增，不等式可以转化为，所以，所以，根据在单调递增，在单调递减，得到，从而求得的取值范围. 【详解】因为， 所以①， 令，则， 所以， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以在单调递增， 因为①式可化为， 所以，所以， 令， 所以可求得在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关应用导数解决不等式成立时参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有构造新函数，利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，恒成立问题向最值靠拢，属于较难题目. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）解一元二次不等式，首先找到与不等式对应的方程的两个根，然后结合二次函数图像得到不等式的解集；（Ⅱ）将解集为全体实数即恒成立问题转化为函数最值问题，结合函数图像寻找满足的条件 试题解析：（Ⅰ）不等式化为的两根为，因此不等式解集为 （Ⅱ）当时恒成立，当时需满足 综上实数的取值范围为 考点：1．一元二次不等式的解法；2．二次不等式与二次函数的转化 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到切线斜率，进而求出直线即可；（2）求导，再参变分离，构造函数，转化为最值问题即可. 【小问1详解】 当时，， 且， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立． 当且仅当在上恒成立， 则在上恒成立， 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，得， 实数的取值范围为 17. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程的解的个数． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； （2）作图见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的极值. （2）结合（1）分析函数的特性，作出函数图象. （3）结合（2）中的图象，数形结合求出方程解的个数. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图： 【小问3详解】 方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 18. 设函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，试判断零点的个数； （Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值. 【答案】（1）当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为；（2）两个；（3）0. 【解析】 【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数，由，，利用零点存在定理可得结果；（3）当，为整数，且当时，恒成立，，利用导数求出的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）， . 当时，在恒成立， 在是单减函数. 当时，令，解之得. 从而，当变化时，，随的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数. 综上，当时，的单减区间为； 当时，的单减区间为，单增区间为. （2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数； 又，，. ，； 故在有两个零点. （3）当，为整数，且当时，恒成立 . 令，只需； 又， 由（2）知，在有且仅有一个实数根， 在上单减，在上单增； 又，， ，且， 即代入式，得 . 而在增函数，， 即. 而，， 即所求的最大值为0. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 19. 定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0） （1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域； （2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由； （3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围． 【答案】（1）；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0）． 【解析】 【分析】(1)根据二次函数的图像与性质求解即可. (2)根据凹函数的定义求解的正负判断即可. (3)分情况去绝对值,再参变分离求解范围即可. 【详解】（1）当a＝1时，， 由二次函数的图象及性质可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为； （2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x， ，， 作差得到： ， 即有f（），故函数f（x）＝x2+x是凹函数； （3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有，即， 当x∈（0，1]时，有，即， 又x∈（0，1]，则， ∴当时，，， 综上实数a的取值范围为[﹣2，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域,图像与性质等.同时也考查了新定义的运用,需要根据题意计算求解分析.同时也考查了参变分离求参数范围的问题.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$